Question

3．已知函數(shù)f（x）=lnx+ax的函數(shù)圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸．
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若直線y=kx+b與函數(shù)f（x）的圖象交于兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）．
證明：$\frac{1-{x}_{2}}{{x}_{2}}$＜k＜$\frac{1-{x}_{1}}{{x}_{1}}$．

Answer 1

分析 （1）由求導(dǎo)公式求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和條件列出方程，求出a的值，再確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）的極值；
（2）令$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=t（t＞1），即證1-$\frac{1}{t}$＜lnt＜t-1（t＞1）．

解答 （1）解：依題意f（x）=lnx+ax，則f′（x）=$\frac{1}{x}$+a
由函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸得：f′（1）=1+a=0
∴a=-1 …（2分）
所以 f′（x）=$\frac{1}{x}$-1．
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）
由f′（x）＞0得0＜x＜1，由f′（x）＜0得x＞1，即函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減   
所以f（x）_極大值=f（1）=-1，沒(méi)有極小值  …（5分）
（2）證明：依題意得k=$\frac{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}-{x}_{2}+{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
證$\frac{1-{x}_{2}}{{x}_{2}}$＜k＜$\frac{1-{x}_{1}}{{x}_{1}}$，即證$\frac{1}{{x}_{2}}$＜$\frac{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜$\frac{1}{{x}_{1}}$
因x₂-x₁＞0，即證$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＜$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}}$
令$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=t（t＞1），即證1-$\frac{1}{t}$＜lnt＜t-1（t＞1）…（8分）
令h（t）=lnt+$\frac{1}{t}$-1（t＞1）則h′（t）=$\frac{t-1}{{t}^{2}}$＞0
∴h（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（t）＞h（1）=0，即lnt＞1-$\frac{1}{t}$（t＞1）①
同理可證：lnt＜t-1②
綜①②得1-$\frac{1}{t}$＜lnt＜t-1（t＞1），…（11分）
所以$\frac{1-{x}_{2}}{{x}_{2}}$＜k＜$\frac{1-{x}_{1}}{{x}_{1}}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查不等式的證明．導(dǎo)數(shù)的幾何意義：過(guò)曲線上某點(diǎn)的切線的斜率，就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值．