函數(shù)f(x)=x3+ax與g(x)=2x2+b的圖象有公共點(diǎn)(1,f(1)),且它們的圖象在該點(diǎn)處的切線相同,記F(x)=f(x)-g(x).
(1)求F(x)的表達(dá)式,并求F(x)在[0,1]上的值域;
(2)設(shè)t≤-1,函數(shù)G(x)=x3-3t2x-2t,x∈[0,1],若對(duì)于任意x1∈[0,1],總存在x0∈[0,1],使得G(x0)=F(x1),求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)求導(dǎo)函數(shù),利用函數(shù)f(x)=x3+ax與g(x)=2x2+b的圖象在x=1處有相同的切線,建立方程,即可求a,b的值;
(2)求出函數(shù)G(x)的導(dǎo)數(shù),求出函數(shù)的單調(diào)性和值域,即可得到結(jié)論.
解答: 解:(1)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=3x2+a,g′(x)=4x,
由條件知f(1)=g(1)且f′(1)=g′(1)
∴1+a=2+b且3+a=4,
∴a=1,b=0;
則f(x)=x3+x與g(x)=2x2,F(xiàn)(x)=f(x)-g(x)=x3-2x2+x,
由F′(x)=3x2-4x+1=3(x-1)(x-
1
3
)=0,得x=1或x=
1
3

則列表如下:
 x 0 (0,
1
3
 
1
3
 (
1
3
,1)
 F′(x) + 0- 
 F(x) 0 遞增 極大值
4
27
 遞減 0
則函數(shù)的最大值為F(
1
3
)=
4
27
,最小值為F(0)=F(1)=0,
即函數(shù)的值域?yàn)閇0,
4
27
].
(2)G′(x)=3x2-3t2
∵x∈[0,1],t≤-1,
∴G′(x)≤0,即G(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,
則G(x)∈[G(1),G(0)],
即G(x)∈[1-3t2-2t,-2t],
以題意可得[0,
4
27
]⊆[1-3t2-2t,-2t],
1-3t2-2t≤0
-2t≥
4
27
,解得t≤-1,
故實(shí)數(shù)t的取值范圍是(-∞,-1].
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)的值域的求解,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性,值域和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.考查學(xué)生的計(jì)算能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2+ax+2,g(x)=2ex(x+b),若曲線y=g(x)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0,2),且在點(diǎn)P處曲線y=f(x)和y=g(x)有相同的切線.(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)若F(x)=x(f(x)+2),如果存在x1,x2∈[-3,-1],使得F(x1)-F(x2)≥M成立,求滿足上述條件的最大整數(shù)M;
(Ⅲ)當(dāng)k>1,討論方程kg(x)-f(x)=0在x∈[2,+∞)上解的個(gè)數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
2x2+bx+c
x2+1
,滿足f(1)=1,f(2)=
6
5

(1)求f(x)的表達(dá)式;
(2)判斷函數(shù)F(x)=lg[f(x)]在x∈[-1,1]上的單調(diào)性,并證明;
(3)若m∈R,求F(|m-
1
4
|-|m+
1
4
|)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,E,F(xiàn)是線段AD1,DB上的點(diǎn),且AE=BF.
(1)求證:EF∥平面CD1
(2)求異面直線BD與B1C1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

求函數(shù)y=(
1
3
 x2-3x+2的單調(diào)區(qū)間及值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=log3
1+x
1-x

(1)求函數(shù)f(x)的定義域;
(2)討論函數(shù)f(x)在[0,
1
2
]上的單調(diào)性并求值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

下列說(shuō)法中正確的有
 
.(寫出所有正確命題的序號(hào))
①存在銳角θ,使得sinθ+cosθ=
1
3
;
②y=cos(x-
π
4
)在區(qū)間[
3
,π]上是減函數(shù);
③函數(shù)f(x)=sin(2x+
π
3
)的圖象關(guān)于點(diǎn)(
π
4
,0)對(duì)稱;
④將函數(shù)f(x)=sin2x的圖象向左平移
π
4
個(gè)單位后對(duì)應(yīng)的函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若關(guān)于x的不等式t2+t+1≥|x-1|+|x+2|的解集是空集,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

方程sin(πx)=
1
3
x的解的個(gè)數(shù)是
 

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