Question

若關(guān)于x的不等式t²+t+1≥|x-1|+|x+2|的解集是空集，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：t²+t+1≥|x-1|+|x+2|的解集是空集?t²+t+1＜|x-1|+|x+2|恒成立；構(gòu)造函數(shù)F（x）=|x-1|+|x+2|，利用絕對(duì)值三角不等式可求得F（x）_min=3，于是解不等式t²+t+1＜3即可．

解答： 解：關(guān)于x的不等式t²+t+1≥|x-1|+|x+2|的解集是空集?t²+t+1＜|x-1|+|x+2|恒成立；
設(shè)F（x）=|x-1|+|x+2|，
則t²+t+1＜F（x）_min，
由絕對(duì)值三角不等式得：F（x）=|x-1|+|x+2|≥|（x-1）-（x+2）|=3，即F（x）_min=3，
所以t²+t+1＜3，解得：-2＜t＜1，
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍是（-2，1），
故答案為：（-2，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，著重考查絕對(duì)值三角不等式d的應(yīng)用，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想．構(gòu)造函數(shù)思想與恒成立問題，屬于中檔題．