Question

下列說法中正確的有

 

．（寫出所有正確命題的序號）
①存在銳角θ，使得sinθ+cosθ=

1

3

；
②y=cos（x-

π

4

）在區(qū)間[

2π

3

，π]上是減函數(shù)；
③函數(shù)f（x）=sin（2x+

π

3

）的圖象關(guān)于點（

π

4

，0）對稱；
④將函數(shù)f（x）=sin2x的圖象向左平移

π

4

個單位后對應(yīng)的函數(shù)是一個偶函數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由條件根據(jù)銳角的定義、正弦函數(shù)的單調(diào)性、圖象的對稱性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論．

解答： 解：若sinθ+cosθ=

1

3

，平方可得1+2sinθcosθ=

1

9

，sinθcosθ＜0，故θ不可能是銳角，故①不正確．
對于y=cos（x-

π

4

），令 2kπ≤x-

π

4

≤2kπ+π，k∈z，求得2kπ+

π

4

≤x≤2kπ+

5π

4

，
故 y=cos（x-

π

4

）的減區(qū)間為[2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

]，故 y=cos（x-

π

4

）在區(qū)間[

2π

3

，π]上是減函數(shù)，
故②正確．
令x=

π

4

，求得f（0）=sin（0+

π

3

）=

3

2

≠0，∴f（x）=sin（2x+

π

3

）的圖象不關(guān)于點（

π

4

，0）對稱，
故③不正確．
將函數(shù)f（x）=sin2x的圖象向左平移

π

4

個單位后對應(yīng)的函數(shù)是y=sin2（x+

π

4

）=cos2x，顯然為偶函數(shù)，
故④正確，
故答案為：②④．

點評：本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性、圖象的對稱性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．