已知函數(shù)f(x)=
2x2+bx+c
x2+1
,滿足f(1)=1,f(2)=
6
5

(1)求f(x)的表達(dá)式;
(2)判斷函數(shù)F(x)=lg[f(x)]在x∈[-1,1]上的單調(diào)性,并證明;
(3)若m∈R,求F(|m-
1
4
|-|m+
1
4
|)的值域.
考點(diǎn):函數(shù)的值域,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(1)把f(1)=1,f(2)=
6
5
代入解得即可,
(2)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)f(x)單調(diào)性,問題得以解決.
(3)先求出(|m-
1
4
|-|m+
1
4
|)的范圍,再根據(jù)函數(shù)F(x)單調(diào)性,求得值域.
解答: 解:(1)由 f(1)=
1
2
(a+b+c)=1,f(2)=
1
5
(8+2b+c)=
6
5
,
解得b=-2,c=2,
∴f(x)=
2x2-2x+2
x2+1
,
(2)F(x)=lg[f(x)]在x∈[-1,1]上的單調(diào)遞減,
∵設(shè)u=f(x)=
2x2-2x+2
x2+1
=2-
2x
x2+1
,
∴f′(x)=
2(x2-1)
(x2+1)2
,
∵x∈[-1,1]
∴f′(x)<0,
∴f(x)在x∈[-1,1]上的單調(diào)遞減,
而y=lgu增函數(shù),
∴F(x)=lg[f(x)]在x∈[-1,1]上的單調(diào)遞減,
(3)∵|m-
1
4
|-|m+
1
4
|≤m-
1
4
-(m+
1
4
)=
1
2
,
-
1
2
≤|m-
1
4
|-|m+
1
4
|≤
1
2
,
由(2)知F(x)在x∈[-1,1]上的單調(diào)遞減,
∴F(
1
2
)≤F(|m-
1
4
|-|m+
1
4
|)≤F(-
1
2

∵F(
1
2
)=lg
6
5
,F(xiàn)(-
1
2
)=lg
14
5

∴F(|m-
1
4
|-|m+
1
4
|)的值域?yàn)閇lg
6
5
,lg
14
5
]
點(diǎn)評:本題主要考查了函數(shù)解析式,復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的值域,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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a-1
a-4
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為了了解某校今年準(zhǔn)備報考飛行員的學(xué)生的體重情況,將所得的數(shù)據(jù)整理后,畫出了頻率分布直方圖(如圖所示).已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為1:2:3,第2小組的頻數(shù)為12,求抽取的學(xué)生人數(shù).

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1
2
x2+x)(e=2.718..).
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sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=
 

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