Question

已知函數f（x）=

2x2+bx+c

x2+1

，滿足f（1）=1，f（2）=

6

5

．
（1）求f（x）的表達式；
（2）判斷函數F（x）=lg[f（x）]在x∈[-1，1]上的單調性，并證明；
（3）若m∈R，求F（|m-

1

4

|-|m+

1

4

|）的值域．

Answer 1

考點：函數的值域,函數解析式的求解及常用方法,函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：（1）把f（1）=1，f（2）=

6

5

代入解得即可，
（2）根據復合函數的單調性，利用導數判斷函數f（x）單調性，問題得以解決．
（3）先求出（|m-

1

4

|-|m+

1

4

|）的范圍，再根據函數F（x）單調性，求得值域．

解答： 解：（1）由 f（1）=

1

2

（a+b+c）=1，f（2）=

1

5

（8+2b+c）=

6

5

，
解得b=-2，c=2，
∴f（x）=

2x2-2x+2

x2+1

，
（2）F（x）=lg[f（x）]在x∈[-1，1]上的單調遞減，
∵設u=f（x）=

2x2-2x+2

x2+1

=2-

2x

x2+1

，
∴f′（x）=

2(x2-1)

(x2+1)2

，
∵x∈[-1，1]
∴f′（x）＜0，
∴f（x）在x∈[-1，1]上的單調遞減，
而y=lgu增函數，
∴F（x）=lg[f（x）]在x∈[-1，1]上的單調遞減，
（3）∵|m-

1

4

|-|m+

1

4

|≤m-

1

4

-（m+

1

4

）=

1

2

，
∴-

1

2

≤|m-

1

4

|-|m+

1

4

|≤

1

2

，
由（2）知F（x）在x∈[-1，1]上的單調遞減，
∴F（

1

2

）≤F（|m-

1

4

|-|m+

1

4

|）≤F（-

1

2

）
∵F（

1

2

）=lg

6

5

，F（-

1

2

）=lg

14

5

，
∴F（|m-

1

4

|-|m+

1

4

|）的值域為[lg

6

5

，lg

14

5

]

點評：本題主要考查了函數解析式，復合函數的單調性，函數的值域，屬于中檔題．