Question

14．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，ADCD，AD=2BC=2CD=2，M，N，E分別為，AB，CD，AD的中點(diǎn)，將△ABE沿BE折起，使折疊后AD=1
（1）求證：折疊后MN∥平面AED；
（2）求折疊后四棱錐A-BCDE的體積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)折疊前空間直線的位置關(guān)系結(jié)合線面平行的判定定理即可證明折疊后MN∥平面AED；
（2）結(jié)合四棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可．

解答 證明：（1）如圖，在四棱錐A-BCDE中，取AE的中點(diǎn)P，連接MP，DP，
由M，N，P均為中點(diǎn)，
則MP∥BE∥CD，且MP=$\frac{1}{2}$BE=ND，
∴四邊形MNDP為平行四邊形，則MN∥DP，
∵M(jìn)N?平面AED，DP?平面AED．
∴MN∥平面AED，即折疊后MN∥平面AED．
（2）在四棱錐A-BCDE中，取ED的中點(diǎn)Q，連接AQ，
∵折疊前梯形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，AD=2BC=2CD=2，AD⊥CD，
∴四邊形BCDE為正方形，則BE⊥AD，
在四棱錐A-BCDE中，BE⊥EA，BE⊥ED，
∵EA∩DE=E，
∴BE⊥平面AED，
∵AQ?平面AED，得BE⊥AQ
∵在△AED中，AE=AD=ED=1，
∴AQ⊥ED，且AQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵BE∩ED=E，
∴AQ⊥平面BCDE，
∴四棱錐A-BCDE的體積V=$\frac{1}{3}$S_BCDE•AD=$\frac{1}{3}×1×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間直線和平面平行的判定以及空間四棱錐的體積公式的計(jì)算，考查學(xué)生的推理和證明能力．