Question

4．過原點(diǎn)作兩條不同的直線l₁和l₂分別與圓x²+y²-2x=0相交于兩點(diǎn)A，B，
（1）若直線l₁和l₂的斜率分別為k和$\frac{1}{k}$（k＞0），求證：|OA|²+|OB|²為定值；
（2）若|OA|•|OB|=λ（λ為正常數(shù)），試問：不論A，B兩點(diǎn)的位置如何變化，直線AB總能與一個(gè)定圓相切嗎？若能，求出次定圓方程，若不能，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線l₁方程為y=kx，則圓心到直線的距離為d=$\frac{k}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，|OA|²=（2$\sqrt{1-\frac{{k}^{2}}{{k}^{2}+1}}$）²=$\frac{4}{{k}^{2}+1}$，以$\frac{1}{k}$代替k，可得|OB|²=$\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}+1}$，即可證明結(jié)論；
（2）設(shè)AB邊上的高為h，則△AOB的面積S=$\frac{1}{2}$|AB|•h，再利用S=$\frac{1}{2}$|OA|•|OB|•sin∠AOB，即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：圓x²+y²-2x=0可化為（x-1）²+y²=1，
設(shè)直線l₁方程為y=kx，則圓心到直線的距離為d=$\frac{k}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，∴|OA|²=（2$\sqrt{1-\frac{{k}^{2}}{{k}^{2}+1}}$）²=$\frac{4}{{k}^{2}+1}$，
以$\frac{1}{k}$代替k，可得|OB|²=$\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}+1}$，
∴|OA|²+|OB|²=4；
（2）解：由題意，圓（x-1）²+y²=1是△AOB 的外接圓，半徑為1，
根據(jù)正弦定理：|AB|=2Rsin∠AOB=2sin∠AOB
設(shè)AB邊上的高為h，則△AOB的面積S=$\frac{1}{2}$|AB|•h=h•sin∠AOB
∵S=$\frac{1}{2}$|OA|•|OB|•sin∠AOB=$\frac{1}{2}λ$sin∠AOB
∴h=$\frac{λ}{2}$為定值
即O到AB的距離為定值$\frac{λ}{2}$
∴直線AB與以原點(diǎn)為圓心，$\frac{λ}{2}$為半徑的圓相切，圓的方程為x²+y²=$\frac{{λ}^{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查圓的方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．