Question

6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD．點(diǎn)E是線段BD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段PD上的動點(diǎn)．
（Ⅰ）若F是PD的中點(diǎn)，求證：EF∥平面PBC；
（Ⅱ）求證：CE⊥BF；
（Ⅲ）若AB=2，PD=3，當(dāng)三棱錐P-BCF的體積等于$\frac{4}{3}$時，試判斷點(diǎn)F在邊PD上的位置，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角形的中位線的性質(zhì)證明EF∥PB，利用線面平行的判定定理，證明：EF∥平面PBC；
（Ⅱ）證明CE⊥平面PBD，即可證明：CE⊥BF；
（Ⅲ）設(shè)PF=x．由AB=2得BD=2$\sqrt{2}$，CE=$\sqrt{2}$，所以V_P-BCF=V_C-BPF=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×PF×BD×CE$=$\frac{1}{6}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}x$=$\frac{2}{3}x$，即可得出結(jié)論．

解答 （Ⅰ）證明：在△PDB中，因?yàn)辄c(diǎn)E是BD中點(diǎn)，點(diǎn)F是PD中點(diǎn)，
所以EF∥PB．
又因?yàn)镋F?平面PBC，PB?平面PBC，
所以EF∥平面PBC．…（4分）
（Ⅱ）證明：因?yàn)镻D⊥平面ABCD，且CE?平面ABCD，
所以PD⊥CE．
又因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，且點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，
所以CE⊥BD．
因?yàn)锽D∩PD=D，所以CE⊥平面PBD，
而BF?平面PCD，所以CE⊥BF． …（9分）
（Ⅲ）解：點(diǎn)F為邊PD上靠近D點(diǎn)的三等分點(diǎn)．
說明如下：
由（Ⅱ）可知，CE⊥平面PBF．
又因?yàn)镻D⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PD⊥BD．
設(shè)PF=x． 由AB=2得BD=2$\sqrt{2}$，CE=$\sqrt{2}$，
所以V_P-BCF=V_C-BPF=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×PF×BD×CE$=$\frac{1}{6}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}x$=$\frac{2}{3}x$．
由已知$\frac{2}{3}x$=$\frac{4}{3}$，所以x=2．
因?yàn)镻D=3，所以點(diǎn)F為邊PD上靠近D點(diǎn)的三等分點(diǎn)．…（14分）

點(diǎn)評 本題考查直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定的應(yīng)用，考查體積的計(jì)算，考查邏輯推理能力．