Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2x，\;\;\;x＜0\\ 0，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x=0\\-{x^2}+2x，\;x＞0\end{array}$．
（1）在所給的坐標系中畫出該函數(shù)的圖象；
（2）由圖象寫出的單調(diào)區(qū)間，并指出函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值和最小值；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，a-2]上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)圖象；
（2）結(jié)合已知中函數(shù)的圖象，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及區(qū)間[-2，2]上的最大值和最小值；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，a-2]上單調(diào)遞增，則-1＜a-2≤1，解得答案．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2x，\;\;\;x＜0\\ 0，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x=0\\-{x^2}+2x，\;x＞0\end{array}$的圖象如下圖所示：


（2）由圖可得：
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：（-1，1）；
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間：（-∞，-1），（1，+∞）；
在區(qū)間[-2，2]上，
函數(shù)f（x）的最大值1，
函數(shù)f（x）的最小值-1
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，a-2]上單調(diào)遞增，
則-1＜a-2≤1，
解得：1＜a≤3．

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應用，數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)的單調(diào)性和最值．