Question

7．已知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)、公比都為正數(shù)的等比數(shù)列，數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n項(xiàng)和為$\frac{{8（{4^n}-1）}}{3}$，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為${a_n}={（{\frac{1}{2}}）^n}$．

Answer 1

分析 通過令n=1可知$\frac{1}{{a}_{1}•{a}_{2}}$=8，令n=2可知$\frac{1}{{a}_{3}•{a}_{4}}$=32，利用q²=$\frac{{a}_{3}•{a}_{4}}{{a}_{1}•{a}_{2}}$可知q=$\frac{1}{2}$，利用a₁•a₂=${{a}_{1}}^{2}$•q=$\frac{1}{8}$可知a₁=$\frac{1}{2}$，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：依題意，$\frac{1}{{a}_{1}•{a}_{2}}$=$\frac{8（4-1）}{3}$=8，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}•{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}•{a}_{4}}$=$\frac{8（16-1）}{3}$=40，
∴$\frac{1}{{a}_{3}•{a}_{4}}$=40-$\frac{1}{{a}_{1}•{a}_{2}}$=40-8=32，
∴q²=$\frac{{a}_{3}•{a}_{4}}{{a}_{1}•{a}_{2}}$=$\frac{8}{32}$=$\frac{1}{4}$，
解得：q=$\frac{1}{2}$或q=-$\frac{1}{2}$（舍），
又∵a₁•a₂=${{a}_{1}}^{2}$•q=$\frac{1}{8}$，
∴a₁=$\frac{1}{2}$或q=-$\frac{1}{2}$（舍），
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)、公比都為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
于是${a_n}={（{\frac{1}{2}}）^n}$，
故答案為：${a_n}={（{\frac{1}{2}}）^n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．