Question

6．已知點P（2，0）及圓C：x²+y²-6x+4y+4=0．
（1）若直線l過點P且與圓心C的距離為1，求直線l的方程．
（2）設(shè)直線ax-y+1=0與圓C交于A，B兩點，是否存在實數(shù)a，使得過點P（2，0）的直線l₂垂直平分弦AB？若存在，求出實數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）分直線斜率存在與否，兩種情況解答；
（2）把直線y=ax+1代入圓C的方程d得到關(guān)于x的一元二次方程，利用交點個數(shù)與判別式的關(guān)系得到a的范圍，設(shè)符合條件的實數(shù)a存在，利用直線垂直的斜率關(guān)系得到a值判斷．

解答 解：（1）設(shè)直線l的斜率為k（k存在），則方程為y-0=k（x-2），即kx-y-2k=0．
又圓C的圓心為（3，-2），半徑r=3，由$\frac{|3k+2-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=-$\frac{3}{4}$．
所以直線方程為y=-$\frac{3}{4}$（x-2），即3x+4y-6=0．
當(dāng)l的斜率不存在時，l的方程為x=2，經(jīng)驗證x=2也滿足條件．
綜上所述，直線l的方程為3x+4y-6=0或x=2；
（2）把直線y=ax+1代入圓C的方程，消去y，整理得（a²+1）x²+6（a-1）x+9=0．
由于直線ax-y+1=0交圓C于A，B兩點，
故△=36（a-1）²-36（a²+1）＞0，解得a＜0．則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，0）．
設(shè)符合條件的實數(shù)a存在．
由于l₂垂直平分弦AB，故圓心C（3，-2）必在l₂上．所以l₂的斜率k_PC=-2．
而k_AB=a=-$\frac{1}{{k}_{PC}}$，所以a=$\frac{1}{2}$．
由于$\frac{1}{2}$∉（-∞，0），故不存在實數(shù)a，使得過點P（2，0）的直線l₂垂直平分弦AB．

點評 本題考查了直線方程的求法以及直線與圓的位置關(guān)系的判斷；屬于中檔題．