Question

1．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面AA₁B₁B，四邊形AA₁B₁B是矩形，且AB=1，AC=2，BC=$\sqrt{5}$．
（1）求證：AA₁⊥平面ABC；
（2）若直線BC₁與平面ABC所成角的正弦值為$\frac{2}{3}$，求二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AA₁⊥AB，由此能證明AA₁⊥平面ABC．
（2）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，利用向量法能求出二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值．

解答 證明：（1）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形AA₁B₁B是矩形，
∴AA₁⊥AB，
∵平面ABC⊥平面AA₁B₁B，且AA₁垂直于這兩個平面的交線AB，
∴AA₁⊥平面ABC．
解：（2）由（1）知AA₁⊥AB，AA₁⊥AC，
∵AB=1，AC=2，BC=$\sqrt{5}$，∴AB²+AC²=BC²，∴AB⊥AC，
如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
由（1）知CC₁⊥平面ABC，
∴直線BC₁與平面ABC所成角的大小即為∠C₁BC的大小，
由已知得tan$∠{C}_{1}BC=\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴CC₁=2，則C₁（2，0，2），B（0，1，0），B₁（0，1，2），A₁（0，0，2），
$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（0，-1，2），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（2，-1，2），
設(shè)平面A₁BC₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=-y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=2x-y+2z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，2，1），
同理求得平面BB₁C₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，2，0），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{5}$，
由圖知二面角A₁-BC₁-B₁的平面角為銳角，
∴二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值為$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．