Question

6．已知數(shù)列{a_n}是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=n²+5n，且滿足a₄=b₁₄，a₆=b₁₂₆，令c_n=log${\;}_{\sqrt{2}}$a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{b_n}及{c_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)P_n=c_b1+c_b2+…+c_bn，Q_n=c_c1+c_c2+…+c_cn，試比較P_n與Q_n的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （I）數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=n²+5n，當n=1時，b₁=6，當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1，即可得出b_n．設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比q＞0，利用a₄=b₁₄=32，a₆=b₁₂₆=256，利用等比數(shù)列的通項公式可得a_n，進而得到c_n=log${\;}_{\sqrt{2}}$a_n=3n-2（n∈N^*）．
（II）${c}_{_{n}}$=3（2n+4）-2=6n+10.${c}_{{c}_{n}}$=3（3n-2）-2=9n-8．利用等差數(shù)列的前n項和公式可得：P_n，Q_n．利用“作差法”即可比較出大小．

解答 解：（I）∵數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=n²+5n，
∴當n=1時，b₁=6，當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=n²+5n-[（n-1）²+5（n-1）]=2n+4，當n=1時也成立，
∴b_n=2n+4．
設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比q＞0，
∵a₄=b₁₄=32，a₆=b₁₂₆=2×126+4=256，
∴q²=$\frac{{a}_{6}}{{a}_{4}}$=$\frac{256}{32}$=8，q＞0，解得q=2$\sqrt{2}$．
∴a_n=${a}_{4}{q}^{n-4}$=$32×（2\sqrt{2}）^{n-4}$=$（\sqrt{2}）^{3n-2}$，
∴c_n=log${\;}_{\sqrt{2}}$a_n=3n-2（n∈N^*）．
（II）${c}_{_{n}}$=3（2n+4）-2=6n+10.${c}_{{c}_{n}}$=3（3n-2）-2=9n-8．
∴P_n=c_b1+c_b2+…+c_bn=$\frac{n（16+6n+10）}{2}$=3n²+13n，
Q_n=c_c1+c_c2+…+c_cn，=$\frac{n（1+9n-8）}{2}$=$\frac{9}{2}{n}^{2}-\frac{7}{2}n$．
∴P_n-Q_n=$-\frac{3}{2}n（n-11）$，
∴當n≤10時，P_n＞Q_n；
當n=11時，P_n=Q_n；
當n＞11時，P_n＜Q_n．

點評 本題考查了遞推式的應用、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“作差法”、對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．