Question

17．定義在R上的函數(shù)y=f（x），滿足f（2-x）=f（x），（x-1）f′（x）＜0，若f（3a+1）＜f（3），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-$\frac{2}{3}$）
• B． （$\frac{2}{3}$，+∞）
• C． （-$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$）
• D． （-∞，-$\frac{2}{3}$）∪（$\frac{2}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性之間的關(guān)系，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性和對(duì)稱性之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
∵f（2-x）=f（x），
∴函數(shù)關(guān)于x=1對(duì)稱，
若f（3a+1）＜f（3），
則滿足①$\left\{\begin{array}{l}{3a+1≥1}\\{3a+1＞3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a≥0}\\{a＞\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，解得a＞$\frac{2}{3}$，
②$\left\{\begin{array}{l}{3a+1≤1}\\{3a+1＜-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a≤0}\\{a＜-\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，解得a＜-$\frac{2}{3}$，
綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍（-∞，-$\frac{2}{3}$）∪（$\frac{2}{3}$，+∞），
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．