Question

15．已知A₁，A₂，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)和左、右焦點(diǎn)，過(guò)F₂引一條直線與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，△MF₁N的周長(zhǎng)為8，且|F₂A₂|=1．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)P（-3，0）且斜率不為零的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，C，D為橢圓上不同于A，B的另外兩點(diǎn)，滿足$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=λ$\overrightarrow{{F}_{2}C}$，$\overrightarrow{B{F}_{2}}$=μ$\overrightarrow{{F}_{2}D}$，且λ+μ=$\frac{13}{3}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由橢圓定義可求a，由|F₂A₂|=1得a-c=1，可求c，即可求b²=a²-c²=3，從而可得橢圓方程．
（2）設(shè)直線l方程為y=k（x+3），又設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+3）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$得（3+4k²）x²+24k²x+36k²-12=0，由△＞0，可得：0＜k²＜$\frac{3}{5}$，由韋達(dá)定理可解得x₁+x₂=-$\frac{24{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，由F₂（1，0），又$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=λ$\overrightarrow{{F}_{2}C}$，$\overrightarrow{B{F}_{2}}$=μ$\overrightarrow{{F}_{2}D}$，可解得x₁，x₂，從而有x₁+x₂=-$\frac{24{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{3}{2}$，解得k的值即可求得直線l的方程．

解答 解：（1）由橢圓定義知，4a=8，即a=2．…（1分）
由|F₂A₂|=1，得，a-c=1，所以c=1，從而b²=a²-c²=3．…（4分）
故橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．…（5分）
（2）顯然直線l的斜率存在，故設(shè)其方程為y=k（x+3），又設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+3）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$得（3+4k²）x²+24k²x+36k²-12=0
△=（24k²）²-4×（3+4k²）（36k²-12）＞0，從而可得：0＜k²＜$\frac{3}{5}$．
由韋達(dá)定理得x₁+x₂=-$\frac{24{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$．…（7分）
因?yàn)镕₂（1，0），由$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=λ$\overrightarrow{{F}_{2}C}$，得（1-x₁，-y₁）=λ（x₃-1，y₃），
∴x₃=1+$\frac{1-{x}_{1}}{λ}$，y₃=-$\frac{{y}_{1}}{λ}$．
代入橢圓方程得$\frac{（1+\frac{1-{x}_{1}}{λ}）^{2}}{4}$+$\frac{（-\frac{{y}_{1}}{λ}）^{2}}{3}$=1，與$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{{{y}^{2}}_{1}}{3}=1$聯(lián)立消去y₁得x₁=$\frac{5-3λ}{2}$．
同理可得x₂=$\frac{5-3μ}{2}$，所以x₁+x₂=$\frac{10-3（λ+μ）}{2}=-\frac{3}{2}$．
所以x₁+x₂=-$\frac{24{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{3}{2}$，解之得k²=$\frac{1}{4}$∈（0，$\frac{3}{5}$），所以k=$±\frac{1}{2}$．
所求直線方程為y=$±\frac{1}{2}$（x+3），
即  x+2y+3=0 或x-2y+3=0．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求法，韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．