Question

20．拋物線y²=4x上存在兩點關(guān)于直線l：y=$\frac{1}{2}$x+m對稱，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 設(shè)兩對稱點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由條件可設(shè)AB方程為：y=-2x+t，與拋物線y²=4x消去y得關(guān)于x的一元二次方程，則△＞0①，由韋達定理可表示AB中點橫坐標，代入y=$\frac{1}{2}$x+m得其縱坐標，再代入AB方程得m與t的方程，聯(lián)立①即可求得m的取值范圍，

解答 解：設(shè)兩對稱點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則直線l：y=$\frac{1}{2}$x+m垂直平分線段AB，
設(shè)AB：y=-2x+t，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+t}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得4x²-4（t+1）x+t²=0，
則△=16（t+1）²-16t²＞0，即t＞-$\frac{1}{2}$①，
x₁+x₂=t+1，
則AB中點橫坐標為$\frac{t+1}{2}$，
代入y=$\frac{1}{2}$x+m，得y=$\frac{1}{2}$•$\frac{t+1}{2}$+m，
所以AB中點坐標為（$\frac{t+1}{2}$，$\frac{t+1}{4}$+m），
又中點在直線AB上，
所以$\frac{t+1}{4}$+m=-2•$\frac{t+1}{2}$+t，即t=-4m-5，
由①得-4m-5＞-$\frac{1}{2}$，
解得m＜-$\frac{9}{8}$，
所以m的取值范圍為：（-∞，-$\frac{9}{8}$）．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查軸對稱問題，本題采用“方程、不等式”法，解決本題的關(guān)鍵是用數(shù)學式子充分刻畫條件：兩點關(guān)于直線對稱．