Question

15．已知命題p：關(guān)于實(shí)數(shù)x的方程4x²-4mx+m²-1=0的一根比1大另一根比1�。幻�題q：函數(shù)f（x）=2^x-1-m在區(qū)間（2，+∞）上有零點(diǎn)．
（1）命題“p或q”真，“p且q”假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（2）當(dāng)命題P為真時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值集合為集合M，若命題：?x∈M，x²-ax+1≤0為真，則求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出關(guān)于p，q成立時(shí)的m的范圍；（1）通過(guò)討論p，q的真假，得到關(guān)于m的不等式組，解出即可；（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a≥x+$\frac{1}{x}$在x∈（1，3）恒成立，求出其最大值即可．

解答 解：∵命題p：關(guān)于實(shí)數(shù)x的方程4x²-4mx+m²-1=0的一根比1大另一根比1小，
∴4-4m+m²-1＜0，解得：1＜m＜3；
∵命題q：函數(shù)f（x）=2^x-1-m在區(qū)間（2，+∞）上有零點(diǎn)，
∴2^2-1-m＜0，解得：m＞2；
（1）命題p：1＜m＜3．命題q：m＞2，
由題意知，命題p、q應(yīng)一真一假，
即命題p為真，命題q為假或命題p為假，命題q為真，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞2}\\{m≤1或m≥3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m≤2}\\{1＜m＜3}\end{array}\right.$，
解得：m≥3或1＜m≤2；
（2）當(dāng)命題P為真時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值集合為集合M，
則M=（1，3），
若命題：?x∈M，x²-ax+1≤0為真，
即a≥x+$\frac{1}{x}$在x∈（1，3）恒成立，
而x+$\frac{1}{x}$的最大值是$\frac{10}{3}$，
故a≥$\frac{10}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合命題的判斷，考查函數(shù)恒成立問(wèn)題以及二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．