Question

20．已知直線l交拋物線y²=4x于A，B兩點(diǎn)，且（$\frac{7}{2}$，1）為線段AB的中點(diǎn)，則|AB|=$\sqrt{65}$．

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入作差可得直線AB的斜率，從而可得直線AB的方程，代入拋物線方程，利用弦長(zhǎng)公式，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得x₁+x₂=7，y₁+y₂=2，
∵y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
∴作差可得y₁²-y₂²=4x₁-4x₂，
∴直線AB的斜率為2，
∴直線AB的方程為y-1=2（x-$\frac{7}{2}$），即y=2x-6，
代入y²=4x，可得x²-7x+9=0，∴x₁x₂=9，
∴|AB|=$\sqrt{1+4}•$|x₁-x₂|=$\sqrt{5}•\sqrt{49-36}$=$\sqrt{65}$．
故答案為：$\sqrt{65}$．

點(diǎn)評(píng) 本題給出拋物線的弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，求|AB|，著重考查了拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．