Question

6．設雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）與拋物線y²=8x有一個公共的焦點F，兩曲線的一個交點為P，若|PF|=5，則雙曲線漸近線方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，若Q為雙曲線左支的點，則三角形FPQ面積最小值是4$\sqrt{6}$-$\sqrt{21}$．

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點，可得雙曲線的焦點，由拋物線的定義可得P的坐標，運用雙曲線的定義可得a=1，求得b，進而得到雙曲線的方程；求得直線PF的方程，設出與直線PF平行，且與雙曲線相切的直線，求得兩直線的距離，運用三角形的面積公式可得最小值．

解答 解：拋物線y²=8x的焦點F為（2，0），
由題意可得c=2，設左焦點F'（-2，0），
拋物線的準線方程為x=-2，
由拋物線的定義，可得|PF|=x_P+2=5，
可設P（3，2$\sqrt{6}$），
由雙曲線的定義可得
2a=|PF'|-|PF|=$\sqrt{25+24}$-$\sqrt{1+24}$=2，
即a=1，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
可得雙曲線的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
直線PF的方程為y=2$\sqrt{6}$（x-2），
設與直線PF平行，且與雙曲線相切的直線方程為
y=2$\sqrt{6}$x+t，
代入雙曲線方程，可得21x²+4$\sqrt{6}$tx+t²+3=0，
由△=96t²-4×21（t²+3）=0，
解得t=±$\sqrt{21}$，
可取切線的方程為y=2$\sqrt{6}$x-$\sqrt{21}$，
可得切線與直線PF的距離為d=$\frac{|4\sqrt{6}-\sqrt{21}|}{\sqrt{1+24}}$=$\frac{4\sqrt{6}-\sqrt{21}}{5}$，
即有△PFQ的面積的最小值為$\frac{1}{2}$•d•|PF|=$\frac{1}{2}$•$\frac{4\sqrt{6}-\sqrt{21}}{5}$•5=4$\sqrt{6}$-$\sqrt{21}$．
故答案為：x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，4$\sqrt{6}$-$\sqrt{21}$．

點評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運用拋物線的焦點和準線，以及定義，考查三角形的面積的最值，注意運用直線和雙曲線相切，由點到直線的距離公式，考查運算能力，屬于中檔題．