Question

1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A、B分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)M（0，$\frac{1}{2}$）為線段AO的中點(diǎn)，AB=$\sqrt{2}$a．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)N（t，2）（t≠0），直線NA，NB分別交橢圓于點(diǎn)P，Q，直線NA，NB，PQ的斜率分別為k₁，k₂，k₃．
①求證：P，M，Q三點(diǎn)共線；
②求證：k₁k₃+k₂k₃-k₁k₂為定值．

Answer 1

分析 （1）由題意知2b=4（b-$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{2}a$，由此能求出橢圓的方程．
（2）①由N（t，2），A（0，1），B（0，-1），得直線NA的方程為y=$\frac{1}{t}x+1$，直線NB的方程為$y=\frac{3}{t}x-1$，聯(lián)立方程組求出P（-$\frac{4t}{{t}^{2}+2}$，$\frac{{t}^{2}-2}{{t}^{2}+2}$），Q（$\frac{12t}{{t}^{2}+18}$，$\frac{18-{t}^{2}}{{t}^{2}+18}$），從而k_PM=k_QM，由此能證明P，M，Q三點(diǎn)共線．
②由${k}_{1}=\frac{1}{t}$，${k}_{2}=\frac{1}{3t}$，${k}_{3}=\frac{6-{t}^{2}}{8t}$，能證明k₁k₃+k₂k₃-k₁k₂為定值．

解答 解：（1）∵A、B分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)M（0，$\frac{1}{2}$）為線段AO的中點(diǎn)，AB=$\sqrt{2}$a，
∴由題意知2b=4（b-$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{2}a$，
解得a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
證明：（2）①由N（t，2），A（0，1），B（0，-1），
得直線NA的方程為y=$\frac{1}{t}x+1$，
直線NB的方程為$y=\frac{3}{t}x-1$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{t}x+1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{4t}{{t}^{2}+2}}\\{y=\frac{{t}^{2}-2}{{t}^{2}+2}}\end{array}\right.$，∴P（-$\frac{4t}{{t}^{2}+2}$，$\frac{{t}^{2}-2}{{t}^{2}+2}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{t}x-1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{12t}{{t}^{2}+18}}\\{y=\frac{18-{t}^{2}}{{t}^{2}+18}}\end{array}\right.$，∴Q（$\frac{12t}{{t}^{2}+18}$，$\frac{18-{t}^{2}}{{t}^{2}+18}$），
直線PM的斜率k_PM=$\frac{\frac{{t}^{2}-2}{{t}^{2}+2}-\frac{1}{2}}{-\frac{4t}{{t}^{2}+2}}$=$\frac{6-{t}^{2}}{8t}$，
直線QM的斜率k_QM=$\frac{\frac{18-{t}^{2}}{{t}^{2}+18}-\frac{1}{2}}{\frac{12t}{{t}^{2}+18}}$=$\frac{6-{t}^{2}}{8t}$，
∴k_PM=k_QM，∴P，M，Q三點(diǎn)共線．
②由①知：${k}_{1}=\frac{1}{t}$，${k}_{2}=\frac{1}{3t}$，${k}_{3}=\frac{6-{t}^{2}}{8t}$，
∴k₁k₃+k₂k₃-k₁k₂=$\frac{4}{t}×\frac{6-{t}^{2}}{8t}$-$\frac{3}{{t}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$．
∴k₁k₃+k₂k₃-k₁k₂為定值-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，考查三點(diǎn)共線的證明，考查代數(shù)式的和為定值的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)、直線方程的合理運(yùn)用．