【題目】如圖,在三棱柱中, , 是線(xiàn)段的中點(diǎn),且 平面.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)求證: 平面;
(Ⅲ)若, ,求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)見(jiàn)解析(Ⅱ)見(jiàn)解析(Ⅲ)
【解析】試題分析:(Ⅰ)由,可得,由 平面可得.根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理可得平面,再利用面面垂直的判定定理可得結(jié)論;(Ⅱ)連接,設(shè),根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理可得,從而根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理可得平面;(Ⅲ)取的中點(diǎn),則,因?yàn)?/span>,所以,又因?yàn)?/span>平面,所以兩兩垂直.以為原點(diǎn),分別以為軸建立空間坐標(biāo)系,利用向量垂直數(shù)量積為零列方程組,分別求出平面的一個(gè)法向量與平面的一個(gè)法向量,根據(jù)空間向量夾角余弦公式,可得結(jié)果.
試題解析:(Ⅰ)證明:因?yàn)?/span>,所以.
根據(jù)題意, 平面, 平面,所以.
因?yàn)?/span>,所以平面.
又因?yàn)?/span>平面,所以平面平面.
(Ⅱ)證明:連接,設(shè),連接根據(jù)棱柱的性質(zhì)可知, 為的中點(diǎn),因?yàn)?/span>是的中點(diǎn),所以.又因?yàn)?/span>平面,
平面,
所以平面.
(Ⅲ)如圖,取的中點(diǎn),則,因?yàn)?/span>,所以,
又因?yàn)?/span>平面,所以兩兩垂直.以為原點(diǎn),分別以為軸建立空間坐標(biāo)系(如圖).
由(Ⅰ)可知, 平面,
所以.又因?yàn)?/span>, ,所以平面,所以,所以四邊形為菱形.
由已知,
則, , , .
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
因?yàn)?/span>, ,所以,即
設(shè),則.
再設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
因?yàn)?/span>, ,所以,即
設(shè),則.故.
由圖知,二面角的平面角為銳角,
所以二面角的余弦值為.
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線(xiàn)面平行的判定定理、面面垂直的證明以及利用空間向量求二面角,屬于難題. 空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出相應(yīng)直線(xiàn)的方向向量;(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩直線(xiàn)垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的價(jià)格出售,如果當(dāng)天賣(mài)不完,剩下的玫瑰花作垃圾處理.
(Ⅰ)若花店一天購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花,求當(dāng)天的利潤(rùn)(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量(單位:枝, )的函數(shù)解析式.
(Ⅱ)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理得下表:
以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.
(1)若花店一天購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花, 表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位:元),求的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(2)若花店計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn)16枝或17枝玫瑰花,以利潤(rùn)角度看,你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝好還是17枝好?請(qǐng)說(shuō)明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最小值
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)M(﹣1,0),N(1,0),曲線(xiàn)E上任意一點(diǎn)到點(diǎn)M的距離均是到點(diǎn)N的距離的倍.
(1)求曲線(xiàn)E的方程;
(2)已知m≠0,設(shè)直線(xiàn):x﹣my﹣1=0交曲線(xiàn)E于A,C兩點(diǎn),直線(xiàn):mx+y﹣m=0交曲線(xiàn)E于B,D兩點(diǎn),若CD的斜率為﹣1時(shí),求直線(xiàn)CD的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,其中.
(I)當(dāng)時(shí),求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程;
(Ⅱ)證明: 在區(qū)間上恰有2個(gè)零點(diǎn).
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,已知四棱錐 中,
.
(1)證明:頂點(diǎn)在底面的射影為邊的中點(diǎn);
(2)點(diǎn)在上,且,求三棱錐的體積.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn), 的橫坐標(biāo),線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為,直線(xiàn)與線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)相交于點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求的面積的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱中, 、分別為、的中點(diǎn), , .
(1)求證:平面平面;
(2)若直線(xiàn)和平面所成角的正弦值等于,求二面角的平面角的正弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,直線(xiàn)l:y=t(t≠0)交y軸于點(diǎn)M,交拋物線(xiàn)C:y2=2px(p>0)于點(diǎn)P,M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N,連結(jié)ON并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H.
(1)求;
(2)除H以外,直線(xiàn)MH與C是否有其它公共點(diǎn)?說(shuō)明理由.
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 涉歷史虛無(wú)主義有害信息舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專(zhuān)區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話(huà):027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com