【題目】如圖，在直三棱柱中， 、分別為、的中點(diǎn)， ， .

（1）求證：平面平面；

（2）若直線和平面所成角的正弦值等于，求二面角的平面角的正弦值.

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）要證面面垂直，先證線面垂直， 平面，再由面面垂直的判定得到面面垂直；（2）建系得到面的法向量和直線的方向向量，根據(jù)公式得到線面角的正弦值。.

解析：

（1）在直三棱柱中

又

平面， 平面，

∴平面

又∵平面

∴平面平面.

（2）由（1）可知

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 為軸正方向， 為軸正方向， 為軸正方向，建立坐標(biāo)系.設(shè)

， ， ， ， ， ， ，

直線的方向向量，平面的法向量

可知∴

， ，

設(shè)平面的法向量

∴∴

設(shè)平面的法向量

∴∴

記二面角的平面角為

∴

二面角的平面角的正弦值為.

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（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

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