Question

3．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓與直線x+y-1=0交于A、B兩點(diǎn)，M為AB中點(diǎn)，OM的斜率為0.25，橢圓的短軸長(zhǎng)為2，求橢圓的方程．

Answer 1

分析 由題意設(shè)出橢圓方程$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1$，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，然后結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式及根與系數(shù)的關(guān)系列出OM的斜率，由此求出a²得答案．

解答 解：由題意，設(shè)橢圓方程為$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}x+y-1=0\\ \frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1\end{array}\right.$，得（1+a）²x²-2a²x=0，
∴${x_M}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{{1+{a^2}}}{a^2}$，${y_M}=1-{x_M}=\frac{1}{{1+{a^2}}}$，
由${k_{OM}}=\frac{y_M}{x_M}=\frac{1}{a^2}=\frac{1}{4}$，解得a²=4，
∴橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，訓(xùn)練了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了直線的斜率，是基礎(chǔ)題．