Question

某旅游景點(diǎn)2011年利潤(rùn)為100萬(wàn)元，因市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)，若不開(kāi)發(fā)新項(xiàng)目，預(yù)測(cè)從2012年起每年利潤(rùn)比上一年減少4萬(wàn)元，2012年初，該景點(diǎn)一次性投入90萬(wàn)元開(kāi)發(fā)新項(xiàng)目，預(yù)測(cè)在未扣除開(kāi)發(fā)所投入資金的情況下，第n年（n為正整數(shù)，2012年為第1年）的利潤(rùn)為100（1+

1

3n

）萬(wàn)元．
（Ⅰ）設(shè)從2012年起的前n年，該景點(diǎn)不開(kāi)發(fā)新項(xiàng)目的累計(jì)利潤(rùn)為A萬(wàn)元，開(kāi)發(fā)新項(xiàng)目的累計(jì)利潤(rùn)為B萬(wàn)元（須扣除開(kāi)發(fā)所投入資金），求A，B的表達(dá)式；
（Ⅱ）依上述預(yù)測(cè)，該景點(diǎn)從第幾年開(kāi)始，開(kāi)發(fā)新項(xiàng)目的累計(jì)利潤(rùn)超過(guò)不開(kāi)發(fā)新項(xiàng)目的累計(jì)利潤(rùn)？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)題意得，A是首項(xiàng)為96，公差為-4的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；B是數(shù)列的前n項(xiàng)和與90的差；故可以求出A，B；
（2）由（1）知，求出B-A的表達(dá)式，解不等式即可．

解答： 解：（1）依題意，設(shè)A=A_n是首項(xiàng)為100-4=96，公差為-4的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，
所以，A_n=96n+

n(n-1)×(-4)

2

=98n-2n²；
數(shù)列100（1+

1

3n

）的前n項(xiàng)和為：100n+

100

3

•

1- 1 3n

1- 1 3

=100n+50（1-

1

3n

），
∴B=B_n=100n+50（1-

1

3n

）-90=100n-40-

50

3n

；
（2）由（1）得，B-A=B_n-A_n=100n-40-

50

3n

-（98n-2n²）=2n²+2n-40-

50

3n

；
則B-A=B_n-A_n是數(shù)集N^*上的單調(diào)遞增數(shù)列，
n=4時(shí)，B_n-A_n＜0，當(dāng)n=5時(shí)，B_n-A_n＞0；
故該景點(diǎn)從第5年開(kāi)始，開(kāi)發(fā)新項(xiàng)目的累計(jì)利潤(rùn)超過(guò)不開(kāi)發(fā)新項(xiàng)目的累計(jì)利潤(rùn)所以從第5年開(kāi)始，開(kāi)發(fā)新項(xiàng)目的累計(jì)利潤(rùn)超過(guò)不開(kāi)發(fā)新項(xiàng)目的累計(jì)利潤(rùn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的概念以及前n項(xiàng)和公式的綜合應(yīng)用，在數(shù)列求和時(shí)，需要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．