Question

5．函數(shù)g（x）=ax³+2x²+3ax在區(qū)間（-∞，$\frac{a}{3}$）內(nèi)單凋遞減，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，0]
• B． [$-\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$]
• C． （-∞，-$\frac{2}{3}$]
• D． （-∞，-$\frac{2}{3}$）

Answer 1

分析 求導(dǎo)數(shù)得到g′（x）=3ax²+4x+3a，根據(jù)題意便有g(shù)′（x）≤0在（$-∞，\frac{a}{3}$）上恒成立，從而得出a≤0，可看出a=0滿足題意，而a＜0時(shí)，可設(shè)g′（x）與x軸的左右兩交點(diǎn)為A（x₁，0），B（x₂，0），從而得到${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4}{3a}，{x}_{1}{x}_{2}=1$，這樣即可解出${x}_{1}=-\frac{2}{3a}-\sqrt{\frac{4}{9{a}^{2}}-1}$，根據(jù)題意有$\frac{a}{3}≤{x}_{1}$，這樣便可得出a＜0，合并a=0即可得出a的取值范圍．

解答 解：g′（x）=3ax²+4x+3a；
∵g（x）在$（-∞，\frac{a}{3}）$內(nèi)單調(diào)遞減；
∴g′（x）≤0在（$-∞，\frac{a}{3}$）上恒成立；
①a=0時(shí)，顯然滿足題意；
②a＞0時(shí)，顯然不滿足題意；
③a＜0時(shí)，設(shè)g′（x）與x軸的左右兩交點(diǎn)為A（x₁，0），B（x₂，0），則：
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4}{3a}，{x}_{1}{x}_{2}=1$；
∴x₁，x₂均為正數(shù)，若使函數(shù)g（x）=ax³+2x²+3ax在區(qū)間（-∞，$\frac{a}{3}$）內(nèi)單凋遞減，
∴只需$g′（\frac{a}{3}）=\frac{{a}^{3}}{3}+\frac{13}{3}a=a（\frac{{a}^{2}}{3}+\frac{13}{3}）＜0$
∴a＜0；
∴綜上得，a的取值范圍為（-∞，0]．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，韋達(dá)定理，以及一元二次方程的求根公式，無(wú)理不等式的解法，要熟悉二次函數(shù)的圖象．