Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足Sn=n-an(n∈N*)．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)b_n=（2-n）（a_n-1），求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由Sn=n-an(n∈N*)，得S_n+1=n+1-a_n+1，兩式相減得到2a_n+1-a_n=1，由此能證明數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）推導(dǎo)出an=1-

1

2n

，從而得到bn=

n-2

2n

，由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答： 證明：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足Sn=n-an(n∈N*)①，
∴S_n+1=n+1-a_n+1，②
②-①，得：2a_n+1-a_n=1，
∴an+1-1=

1

2

(an-1)，
又∵a1=

1

2

，∴a1-1=

1

2

(an-1)，
又∵a1=

1

2

，∴a1-1=-

1

2

，
∴數(shù)列{a_n-1}是以-

1

2

為首項，以

1

2

為公比的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an-1=-

1

2n

，
∴an=1-

1

2n

，∴bn=

n-2

2n

，
Tn=

-1

2

+

0

22

+

1

23

+

2

24

+

3

25

+…+

n-2

2n

，

1

2

Tn=

-1

22

+

0

23

+

1

24

+

2

25

+

3

26

+…+

n-2

2n+1

，
上述兩式相減，得：

1

2

Tn=-

1

2

+（

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

）-

n-2

2n+1

=-

n

2n+1

，
∴T_n=-

n

2n

．

點評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意裂項求和法的合理運用．