Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+

1

bx

+c（a，b∈N）是奇函數(shù)，且f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求函數(shù)解析式；
（2）判斷證明f（x）在[1，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)f（-x）=-f（x），列出方程求出a、c的值，再由f（1）=2求出b的值，代入解析式；
（2）先判斷出函數(shù)是減函數(shù)，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：取值，作差，變形，定號下結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax²+

1

bx

+c是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
即ax²-

1

bx

+c=-（ax²+

1

bx

+c），
∴a=c=0，
則f(x)=

1

bx

由f（1）=2得，b=

1

2

，
∴f(x)=

2

x

，
（2）f(x)=

2

x

在[1，+∞）上是減函數(shù)．
證明：設(shè)1≤x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

2

x1

-

2

x2

=

2(x2-x1)

x1•x2

，
∵1≤x₁＜x₂，
∴x₁x₂＞0，x₂-x₁＞0，則

2(x2-x1)

x1•x2

＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在[1，+∞）上是減函數(shù)．

點評：本題考查奇函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，以及函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，解題的關(guān)鍵是掌握函數(shù)單調(diào)性的定義證明步驟：取值，作差，變形，定號下結(jié)論．