【題目】平面直角坐標系中，圓方程為，點，直線過點

（1）如圖1，直線的斜率為，直線交圓于不同兩點，求弦的長度；

（2）動點在圓上作圓周運動，線段的中點為點，求點的軌跡方程；

（3）在（1）中，如圖2，過點作直線，交圓于不同兩點，證明：．

【答案】（1）；（2）；（3）見解析．

【解析】

（1）求出直線的方程，再求出圓心到直線的距離，利用垂徑定理可求弦的長．

（2）利用動點轉(zhuǎn)移法可求的軌跡方程．

（3）設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線的方程和圓的方程，消元后利用韋達定理可證對任意的總成立，從而可證．

（1）直線的方程為即，

圓心到直線的距離為，故．

（2）設(shè)，則，

故，所以點的軌跡方程為．

（3）我們證明：為定值．

直線的斜率必存在．

設(shè)直線的方程為：，，

則．

由可得，

故，即．

所以

，

故對任意的總成立，又，

所以．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，對于直線和點、，記，若，則稱點,被直線l分隔，若曲線C與直線l沒有公共點，且曲線C上存在點,被直線l分隔，則稱直線l為曲線C的一條分隔線.

（1）求證：點、被直線分隔；

（2）若直線是曲線的分隔線，求實數(shù)的取值范圍；

（3）動點M到點的距離與到y軸的距離之積為1，設(shè)點M的軌跡為E，求E的方程，并證明y軸為曲線E的分隔線.

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【題目】如圖，橢圓經(jīng)過點，且點到橢圓的兩焦點的距離之和為.

（l）求橢圓的標準方程；

（2）若是橢圓上的兩個點，線段的中垂線的斜率為且直線與交于點，為坐標原點，求證：三點共線．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)甲、乙、丙三個羽毛球協(xié)會的運動員人數(shù)分別為18，9，18，先采用分層抽樣的方法從這三個協(xié)會中抽取5名運動員參加比賽.

（1）求應(yīng)從這三個協(xié)會中分別抽取的運動員人數(shù)；

（2）將抽取的5名運動員進行編號，編號分別為，從這5名運動員中隨機抽取2名參加雙打比賽. 設(shè)“編號為的兩名運動員至少有一人被抽到” 為事件A，求事件A發(fā)生的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某企業(yè)甲,乙兩個研發(fā)小組,他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為和,現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品,乙組研發(fā)新產(chǎn)品.設(shè)甲,乙兩組的研發(fā)是相互獨立的.

(1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率;

(2)若新產(chǎn)品研發(fā)成功,預(yù)計企業(yè)可獲得萬元,若新產(chǎn)品研發(fā)成功,預(yù)計企業(yè)可獲得利潤萬元,求該企業(yè)可獲得利潤的分布列和數(shù)學期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知曲線y=5,求:

(1)曲線上與直線y=2x-4平行的切線方程.

(2)求過點P(0,5),且與曲線相切的切線方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，曲線由部分橢圓：和部分拋物線：連接而成，與的公共點為，，其中所在橢圓的離心率為.

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）過點的直線與，分別交于點，（，，，中任意兩點均不重合），若，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，直線的傾斜角為，且經(jīng)過點．以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線，從原點O作射線交于點M，點N為射線OM上的點，滿足，記點N的軌跡為曲線C．

（Ⅰ）求出直線的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與曲線C交于P，Q兩點，求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】定義向量的“相伴函數(shù)”為，函數(shù)的“相伴向量”為，其中O為坐標原點，記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為S.

（1）設(shè)，求證：；

（2）已知且，求其“相伴向量”的模；

（3）已知為圓上一點，向量的“相伴函數(shù)”在處取得最大值，當點M在圓C上運動時，求的取值范圍.

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