Question

4．已知（$\root{3}{x}$+x²）²ⁿ的展開式的系數(shù)和比（3x-1）ⁿ的展開式的系數(shù)和大992．求在（2x-$\frac{1}{x}$）²ⁿ的展開式中：
（1）常數(shù)項（用數(shù)字表示）；
（2）二項式系數(shù)最大的項．．

Answer 1

分析 由已知的兩個二項式的系數(shù)關(guān)系得到n，然后求出（2x-$\frac{1}{x}$）²ⁿ的展開式通項，化簡后取字母指數(shù)．

解答 解：由題意得（$\root{3}{x}$+x²）²ⁿ的展開式的系數(shù)和為2²ⁿ比（3x-1）ⁿ的展開式的系數(shù)和2ⁿ大992，所以2²ⁿ-2ⁿ=992，解得n=5，
所以（2x-$\frac{1}{x}$）¹⁰的展開式通項為${C}_{10}^{r}（2x）^{10-r}（-\frac{1}{x}）^{r}$=${C}_{10}^{r}（-1）^{r}{2}^{10-r}{x}^{10-2r}$，令10-2r=0，則r=5，所以常數(shù)項為${C}_{10}^{5}（-1）^{5}{2}^{5}=-8064$；
（2）在（2x-$\frac{1}{x}$）¹⁰的展開式二項式系數(shù)最大的為${C}_{10}^{5}$，所以二項式系數(shù)最大的項為-8064．

點評 本題考查了二項展開式的特征項求法；關(guān)鍵是正確寫出展開式的通項，由此確定特征項．