Question

9．已知函數(shù)f（x）=1-cos²（x-$\frac{5π}{12}$），g（x）=1+$\frac{1}{2}$sin2x．
（1）設x=x₀是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸，求g（x₀）的值；
（2）求函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）在$x∈（{-\frac{π}{2}，0}）$上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)對稱軸的性質確定x₀的值，然后代入求值即可．
（2）求出函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）的解析式，由$x∈（{-\frac{π}{2}，0}）$，可得2x+$\frac{π}{3}$的范圍，由正弦函數(shù)的圖象和性質即可得解．

解答 解：（1）f（x）=cos²（x+$\frac{π}{12}$）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}cos（2x+\frac{π}{6}）$，
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z得所以函數(shù)的對稱軸為x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，k∈Z．
因為x=x₀是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸，所以x₀=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，k∈Z．
所以g（x₀）=1+$\frac{1}{2}$sin2（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$）=1+$\frac{1}{2}$sin（kπ-$\frac{π}{6}$），
若k是偶數(shù)，則g（x₀）=1+$\frac{1}{2}$sin（-$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{4}$，
若k是奇數(shù)，則g（x₀）=1+$\frac{1}{2}$sin（$\frac{5π}{6}$）=$\frac{5}{4}$．
（2）h（x）=f（x）+g（x）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$cos（2x$+\frac{π}{6}$）+1+$\frac{1}{2}$sin2x=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
因為$x∈（{-\frac{π}{2}，0}）$，
所以：2x+$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}$），sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
所以：h（x）∈[1，$\frac{6+\sqrt{3}}{4}$）．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的化簡以及倍角公式，輔助角公式的應用，綜合性較強，屬于中檔題．