Question

4．已知函數(shù)f（x）=ax²+lnx．
（1）當(dāng)a=-$\frac{1}{2}$時(shí)，求函數(shù)f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]的值域；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值和最小值，求出函數(shù)的值域即可；
（2）求函數(shù)的定義域，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）問題轉(zhuǎn)化為h（x）=2ax²+1在（1，2）有解，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=-$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+lnx，（x＞0），
f′（x）=-x+$\frac{1}{x}$=$\frac{1{-x}^{2}}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴f（x）在[$\frac{1}{e}$，1）遞增，在（1，e]遞減，
而f（$\frac{1}{e}$）=-1-$\frac{1}{{2e}^{2}}$，f（1）=-$\frac{1}{2}$，f（e）=1-$\frac{1}{2}$e²＜f（$\frac{1}{e}$），
故函數(shù)的值域是[1-$\frac{1}{2}$e²，-$\frac{1}{2}$]．
（2）要使函數(shù)有意義，則x＞0，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax=$\frac{2{ax}^{2}+1}{x}$，
若a≥0，則f'（x）＞0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，即增區(qū)間為（0，+∞）．
若a＜0，由f′（x）＞0得x＞$\frac{1}{\sqrt{-2a}}$，
由f′（x）＜0得0＜x＜$\frac{1}{\sqrt{-2a}}$，即此時(shí)函數(shù)的減區(qū)間為（0，$\frac{1}{\sqrt{-2a}}$），增區(qū)間為（$\frac{1}{\sqrt{-2a}}$，+∞），
綜上：若a≥0，函數(shù)的增區(qū)間為（0，+∞）．
若a＜0，函數(shù)的減區(qū)間為（0，$\frac{1}{\sqrt{-2a}}$），增區(qū)間為（$\frac{1}{\sqrt{-2a}}$，+∞）．
（3）f′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax=$\frac{2{ax}^{2}+1}{x}$，（x＞0），
若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上不單調(diào)，
則h（x）=2ax²+1在（1，2）有解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{1＜\sqrt{-\frac{1}{2a}}＜2}\end{array}\right.$，解得：-$\frac{1}{2}$＜a＜-$\frac{1}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、分類討論思想有解二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．