Question

12．圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA⊥PC，∠ADC=120°，底面ABCD為菱形，G為PC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為AB，PB上一點(diǎn)，AB=4AE=4$\sqrt{2}$，PB=4PF．
（1）求證：EF∥平面BDG；
（2）求二面角C-DF-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出EF∥PA，連結(jié)AC，交BD于點(diǎn)O，連結(jié)OG，推導(dǎo)出OG∥PA，從而EF∥OG，由此能證明EF∥平面BDG．
（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，過O坐平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角C-DF-B的余弦值．

解答 證明：（1）∵AB=4AE，PB=4PF，∴EF∥PA，
連結(jié)AC，交BD于點(diǎn)O，連結(jié)OG，
∵ABCD為菱形，∴O為AC的中點(diǎn)，
又G為PC的中點(diǎn)，∴OG∥PA，
∴EF∥OG，
又EF?平面BDG，OG?平面BDG，
∴EF∥平面BDG．
解：（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，過O坐平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（2$\sqrt{6}$，0，0），B（0，2$\sqrt{2}$，0），C（-2$\sqrt{6}$，0，0），D（0，-2$\sqrt{2}$，0），
設(shè)P（0，-2$\sqrt{2}$，m），m＞0，則$\overrightarrow{PA}$=（2$\sqrt{6}$，2$\sqrt{2}$，-m），$\overrightarrow{PC}$=（-2$\sqrt{6}$，2$\sqrt{2}$，-m），
則$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}$=-（2$\sqrt{6}$）²+（2$\sqrt{2}$）²+m²=0，解得m=4，
∴$\overrightarrow{PF}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{PB}$=（0，$\sqrt{2}$，-1），$\overrightarrow{DF}$=$\overrightarrow{DP}+\overrightarrow{PF}$=（0，$\sqrt{2}$，3），$\overrightarrow{DC}$=（-2$\sqrt{6}$，2$\sqrt{2}$，0），
設(shè)平面CDF的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{n}=-2\sqrt{6}x+2\sqrt{2}y=0}\\{\overrightarrow{DF}•\overrightarrow{n}=\sqrt{2}y+3z=0}\end{array}\right.$，取z=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}$，-3，$\sqrt{2}$），
平面BDF的法向量為$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
設(shè)二面角C-DF-B的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{14}}$=$\frac{\sqrt{42}}{14}$，
∴二面角C-DF-B的余弦值為$\frac{\sqrt{42}}{14}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．