Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），且x∈（-1，1）時，恒有f（1-m）+f（1-m²）＜0，求實(shí)數(shù)m的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先驗(yàn)證函數(shù)具備奇偶性，再分a＞1、0＜a＜1兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：由函數(shù)的解析式易得f（-x）=-f（x），∴函數(shù)為奇函數(shù)，
（1）當(dāng)a＞1時，函數(shù)f（x）=a^x-a^-x為增函數(shù)，又x∈（-1，1），
∴f（1-m）+f（1-m²）＜0?f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），即f（1-m）＜f（m²-1），
∴

1-m＜m2-1 -1＜1-m＜1 -1＜m2-1＜1

，解得1＜m＜

2

，
（2）當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)f（x）=a^x-a^-x為減函數(shù)，又x∈（-1，1），
∴f（1-m）+f（1-m²）＜0?f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），即f（1-m）＜f（m²-1），
∴

1-m＞m2-1 -1＜1-m＜1 -1＜m2-1＜1

，解得0＜m＜1，
綜上，當(dāng)a＞1時，1＜m＜

2

；當(dāng)0＜a＜1時，0＜m＜1．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，特別地，對于指數(shù)函數(shù)應(yīng)從底數(shù)入手，討論函數(shù)的單調(diào)性．