Question

已知

a

=（5

3

cosx，cosx），

b

=（sinx，2cosx），記函數(shù)f（x）=

a

•

b

+|

b

|²
（1）求函數(shù)f（x）的周期以及f（x）的最大值和最小值；
（2）求f（x）在[0，

π

2

]上的單調遞增區(qū)間．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,正弦函數(shù)的單調性,正弦函數(shù)的對稱性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質,平面向量及應用

分析：（1）利用數(shù)量積運算性質、倍角公式、同角三角函數(shù)基本關系式、兩角和差的正弦公式可得函數(shù)f（x）=5sin(2x+

π

6

)+

7

2

．再利用三角函數(shù)的圖象與性質即可得出．
（2）利用正弦函數(shù)的單調性即可得出．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

a

•

b

+|

b

|2=5

3

sinxcosx+2cos²x+sin²x+4cos²x
=

5 3

2

sin2x+

5(1+cos2x)

2

+1
=5sin(2x+

π

6

)+

7

2

．
∴T=

2π

2

=π．
當sin(2x+

π

6

)=1時，函數(shù)f（x）取得最大值

17

2

；當sin(2x+

π

6

)=-1時，函數(shù)f（x）取得最小值-

3

2

．
（2）∵0≤x≤

π

2

，∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴當0≤x≤

π

6

時，

π

6

≤2x+

π

6

≤

π

2

，
∴f（x）在[0，

π

2

]上的單調遞增區(qū)間為[0，

π

6

]．

點評：本題考查了數(shù)量積運算性質、倍角公式、同角三角函數(shù)基本關系式、兩角和差的正弦公式、三角函數(shù)的圖象與性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．