Question

1．已知a，b為正實(shí)數(shù)，若直線y=x+a與曲線y=e^x-b相切（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則$\frac{{a}^{2}}{2+b}$的取值范圍為（　　）

• A． （0，$\frac{1}{2}$）
• B． （0，1）
• C． （0，+∞）
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 設(shè)切點(diǎn)為（m，n），求得曲線對(duì)應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由切線方程，可得m，n的方程，化簡(jiǎn)可得b=1-a，代入所求式子，令t=3-a，t∈（2，3），可得$\frac{{a}^{2}}{3-a}$=$\frac{（3-t）^{2}}{t}$=t+$\frac{9}{t}$-6，運(yùn)用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，可得所求范圍．

解答 解：設(shè)切點(diǎn)為（m，n），
由y=e^x-b的導(dǎo)數(shù)為y′=e^x-b，
直線y=x+a與曲線y=e^x-b相切，
可得e^m-b=1，n=m+a=e^m-b，
即有m=b=1-a，
即a+b=1，（a，b∈（0，1）），
則$\frac{{a}^{2}}{2+b}$=$\frac{{a}^{2}}{2+1-a}$=$\frac{{a}^{2}}{3-a}$，
令t=3-a，t∈（2，3），即a=3-t，
可得$\frac{{a}^{2}}{3-a}$=$\frac{（3-t）^{2}}{t}$=t+$\frac{9}{t}$-6，
由t+$\frac{9}{t}$的導(dǎo)數(shù)為1-$\frac{9}{{t}^{2}}$，
由2＜t＜3，可得1-$\frac{9}{{t}^{2}}$＜0，
則t+$\frac{9}{t}$在（2，3）遞減，
可得t+$\frac{9}{t}$∈（6，$\frac{13}{2}$），
則$\frac{{a}^{2}}{2+b}$的取值范圍為（0，$\frac{1}{2}$）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性和運(yùn)用：求范圍，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．