Question

【題目】已知向量a＝，b＝，且x∈.

(1)求a·b及|a＋b|；

(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】解 (1)a·b＝cos cos －sin sin ＝cos 2x，

|a＋b|＝

＝＝2，

因?yàn)閤∈，所以cos x≥0，

所以|a＋b|＝2cos x.

(2)由(1)，可得f(x)＝a·b－2λ|a＋b|＝cos 2x－4λcos x，

即f(x)＝2(cos x－λ)2－1－2λ2.

因?yàn)閤∈，所以0≤cos x≤1.

①當(dāng)λ＜0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)cos x＝0時(shí)，f(x)取得最小值－1，這與已知矛盾；

②當(dāng)0≤λ≤1時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)cos x＝λ時(shí)，f(x)取得最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－，解得λ＝；

③當(dāng)λ＞1時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)cos x＝1時(shí)，f(x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－，解得λ＝，這與λ＞1相矛盾；綜上所述λ＝.