Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0），方程f（x）-x=0的兩個(gè)根x₁，x₂滿足0＜x₁＜x₂＜

1

a

．
（1）a=

1

2

，b=0，c=

3

8

，求x₁²+x₂²的值
（2）設(shè)函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=x₀對稱，證明：x₀＜

x1

2

（3）當(dāng)x∈（0，x₁）時(shí)，證明x＜f（x）＜x₁．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用韋達(dá)定理，即可求x₁²+x₂²的值；
（2）方程f（x）-x=0的兩個(gè)根x₁，x₂，函數(shù)f（x）的圖象，關(guān)于直線x=x₀對稱，利用放縮法推出x₀＜

x1

2

；
（3）方程f（x）-x=0的兩個(gè)根x₁，x₂，所以構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)x∈（0，x₁）時(shí)，利用函數(shù)的性質(zhì)推出x＜f （x），然后作差x₁-f（x），化簡分析出f（x）＜x₁，即可．

解答： 解：（1）f(x)-x=

1

2

x2-x+

3

8

=0⇒x1x2=

3

4

，x1+x2=2，
∴

x

2 1

+

x

2 2

=(x1+x2)2-2x1x2=

5

2

------（3分） 
（2）∵x0=-

b

2a

---------（4分）      
∴x0+

1

2a

=-

b-1

2a

=

1

2

(x1+x2)----------（6分）
∵x2＜

1

a

⇒

x2

2

＜

1

2a

，
∴

1

2

x1+

1

2

x2＜

1

2

x1+

1

2a

⇒x0+

1

2a

＜

1

2

x1+

1

2a

，
∴x0＜

x1

2

----------------（8分）
（3）設(shè)f（x）-x=a（x-x₁）（x-x₂）----------（9分）        
∵x∈（0，x₁）∴x-x₁＜0，x-x₂＜0，a＞0，
∴f（x）-x＞0⇒x＜f（x）--------（11分）
f（x）-x₁=f（x）-x+x-x₁=a（x-x₁）（x-x₂）+（x-x₁）=（x-x₁）[a（x-x₂）+1]--------（13分）
∵-

1

a

＜x-x2＜0∴-1＜a(x-x2)＜0⇒f(x)-x1＜0⇒f(x)＜x1--------（14分）

點(diǎn)評：本小題主要考查一元二次方程、二次函數(shù)和不等式的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力．