Question

已知斜率為k=1的直線與拋物線y=x²交于A、B兩點(diǎn)，試求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)斜率為1的直線方程為y=x+m，且A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由直線與拋物線方程消去y得到關(guān)于x的一元二次方程（m為參數(shù)），利用根與系數(shù)的關(guān)系，得到x₁+x₂與x₁x₂關(guān)于m的表示式．設(shè)M（x，y），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式算出x=

1

2

，y=

1

2

+m，最后根據(jù)一元二次方程根的判別式算出y＞

1

4

，可得線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程．

解答： 解：設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），斜率為1的直線方程為y=x+m，且A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
直線代入拋物線方程，消去y，得x²-x-m=0，
根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x₁+x₂=1，
∵點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，
∴x=

1

2

，y=

1

2

+m
∵直線與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)，
∴△=1²+4m＞0，解之得m＞-

1

4

，
結(jié)合y=

1

2

+m可得y＞

1

4

，
因此，線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程為：x=

1

2

（y＞

1

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題給出斜率為1的直線與拋物線相交于點(diǎn)A、B，求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程，著重考查了拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系和軌跡方程的求法等知識(shí)，屬于中檔題．