已知斜率為k=1的直線與拋物線y=x2交于A、B兩點,試求線段AB的中點M的軌跡方程.
考點:軌跡方程
專題:計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程
分析:設斜率為1的直線方程為y=x+m,且A(x1,y1)、B(x2,y2),由直線與拋物線方程消去y得到關于x的一元二次方程(m為參數(shù)),利用根與系數(shù)的關系,得到x1+x2與x1x2關于m的表示式.設M(x,y),由中點坐標公式算出x=
1
2
,y=
1
2
+m,最后根據(jù)一元二次方程根的判別式算出y>
1
4
,可得線段AB中點M的軌跡方程.
解答: 解:設M的坐標為(x,y),斜率為1的直線方程為y=x+m,且A(x1,y1)、B(x2,y2),
直線代入拋物線方程,消去y,得x2-x-m=0,
根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系,得x1+x2=1,
∵點M是線段AB的中點,
∴x=
1
2
,y=
1
2
+m
∵直線與拋物線有兩個不同交點,
∴△=12+4m>0,解之得m>-
1
4

結合y=
1
2
+m可得y>
1
4
,
因此,線段AB中點M的軌跡方程為:x=
1
2
(y>
1
4
).
點評:本題給出斜率為1的直線與拋物線相交于點A、B,求線段AB中點的軌跡方程,著重考查了拋物線的簡單幾何性質、直線與拋物線的位置關系和軌跡方程的求法等知識,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

要得到y(tǒng)=
3
sin2x-cos2x的圖象,可將函數(shù)y=4sinxcosx的圖象( 。
A、向左平行移動
π
12
個單位長度
B、向右平行移動
π
12
個單位長度
C、向左平行移動
π
6
個單位長度
D、向右平行移動
π
6
個單位長度

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=x(ex-1)-ax2(e=2071828…是自然對數(shù)的底數(shù)).
(I)若a=
1
2
,求f(x)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)若當x≥0時f(x)≥0,求a的取值范圍;
(Ⅲ)設n∈N*,x>0,求證:ex>1+
x
1!
+
x2
2!
+…+
xn
n!
n!=n×(n-1)×…×2×1.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

拋物線y=x2-6x+1與坐標軸的交點均在⊙C上,
(1)求⊙C的方程;
(2)若⊙C與直線x-y+a=0交于A、B兩點且OA⊥OB,求實數(shù)a的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的兩個根x1,x2滿足0<x1<x2
1
a

(1)a=
1
2
,b=0,c=
3
8
,求x12+x22的值
(2)設函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=x0對稱,證明:x0
x1
2

(3)當x∈(0,x1)時,證明x<f(x)<x1

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知圓:x2+y2+x-6y+3=0與直線x+2y-3=0的兩個交點為P、Q,求以P,Q為直徑的圓的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)g(x)=loga(1-x),h(x)=loga(x+3)(0<a<1).
(1)設f(x)=g(x)+h(x),若函數(shù)f(x)的最小值是-2,求a的值;
(2)設F(x)=g(x)-h(x),用定義證明函數(shù)F(x)在定義域上是增函數(shù).

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)g(x)=x2-(a+b)x+ab,其中a>0,b>0,函數(shù)f(x)=xg(x),
(1)當x>0時,函數(shù)g(x)的值恒為非負數(shù),且f(x)在x=1處取到極大值,求a的值;  
(2)若f(x)在x=x1和x=x2處分別取到極大值和極小值,記A[x1,f(x1)],B[x2,f(x2)],O是坐標原點,若直線OA與直線OB垂直,求a+b的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=
1
2
(n2+n)
(1)求通項an
(2)若bn=
1
anan+1
,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn

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