Question

已知斜率為k=1的直線與拋物線y=x²交于A、B兩點，試求線段AB的中點M的軌跡方程．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設斜率為1的直線方程為y=x+m，且A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由直線與拋物線方程消去y得到關于x的一元二次方程（m為參數(shù)），利用根與系數(shù)的關系，得到x₁+x₂與x₁x₂關于m的表示式．設M（x，y），由中點坐標公式算出x=

1

2

，y=

1

2

+m，最后根據(jù)一元二次方程根的判別式算出y＞

1

4

，可得線段AB中點M的軌跡方程．

解答： 解：設M的坐標為（x，y），斜率為1的直線方程為y=x+m，且A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
直線代入拋物線方程，消去y，得x²-x-m=0，
根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，得x₁+x₂=1，
∵點M是線段AB的中點，
∴x=

1

2

，y=

1

2

+m
∵直線與拋物線有兩個不同交點，
∴△=1²+4m＞0，解之得m＞-

1

4

，
結合y=

1

2

+m可得y＞

1

4

，
因此，線段AB中點M的軌跡方程為：x=

1

2

（y＞

1

4

）．

點評：本題給出斜率為1的直線與拋物線相交于點A、B，求線段AB中點的軌跡方程，著重考查了拋物線的簡單幾何性質、直線與拋物線的位置關系和軌跡方程的求法等知識，屬于中檔題．