Question

20．已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0，則當(dāng)a=2，△ABC的面積為$\sqrt{3}$時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)為6．

Answer 1

分析 利用正弦定理將邊化角即可得出A，再利用余弦定理和面積公式得出b，c的關(guān)系，從而可求出b，c，故可得出三角形的周長(zhǎng)．

解答 解：∵acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0，
∴sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC，
化簡(jiǎn)可得：$\sqrt{3}$sinA-cosA=1，∴sin（A-30°）=$\frac{1}{2}$，
∴A-30°=30°，∴A=60°．
當(dāng)a=2時(shí)，△ABC的面積為$\frac{1}{2}$bc•sinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc=$\sqrt{3}$，∴bc=4 ①．
再利用余弦定理可得a²=b²+c²-2bc•cosA=（b+c）²-2bc-bc=（b+c）²-3•4=4，
∴b+c=4 ②．
結(jié)合①②求得b=c=2．
∴a+b+c=6．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理、余弦定理的運(yùn)用，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．