Question

15．將函數(shù)f（x）=cos2x的圖象向右平移φ（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）個單位后得到函數(shù)g（x）的圖象，若對滿足|f（x₁）-g（x₂）|=2的x₁，x₂，總有|x₁-x₂|的最小值等于$\frac{π}{6}$，則φ=（　�。�

• A． $\frac{π}{12}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{5π}{12}$

Answer 1

分析 利用三角函數(shù)的最值，求出自變量x₁，x₂的值，然后判斷選項即可．

解答 解：因函數(shù)f（x）=cos2x的周期為π，將函數(shù)的圖象向右平移φ（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）個單位后得到函數(shù)g（x）的圖象．
可得：g（x）=cos（2x-2φ），
若對滿足|f（x₁）-g（x₂）|=2的可知，兩個函數(shù)的最大值與最小值的差為2，有|x₁-x₂|_min=$\frac{π}{6}$，
不妨x₁=0，則：x₂=±$\frac{π}{6}$，即g（x）在x₂=±$\frac{π}{6}$，取得最小值，
由于，cos（2×$\frac{π}{6}$-2φ）=-1，此時φ=$\frac{2π}{3}$-kπ，k∈Z，不合題意0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
x₁=0，x₂=-$\frac{π}{6}$，g（x）在x₂=-$\frac{π}{6}$取得最小值，cos（2x-$\frac{π}{6}$）=-1，此時φ=$\frac{π}{3}$-kπ，k∈Z，
當φ=$\frac{π}{3}$滿足題意．
故選：C．

點評 本題考查三角函數(shù)的圖象平移，函數(shù)的最值以及函數(shù)的周期的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，是好題，題目新穎．有一定難度，選擇題，可以回代驗證的方法快速解答．