Question

19．如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA=PB=PC，M、N分別為AB、BC的中點．

（1）求證：AC∥平面PMN；
（2）求證：MN⊥BC．

Answer 1

分析 （1）由已知可證MN∥AC，根據(jù)直線與平面平行的判定定理即可證明AC∥平面PMN．
（2）易證明PM⊥AB，PN⊥BC，由平面PAB⊥平面ABC，可證PM⊥BC，從而證明BC⊥平面PMN，MN?平面PMN，即可得證．

解答 證明：（1）因為M、N分別為AB、BC的中點，所以MN∥AC…（3分）
又因為MN?平面PMN，AC?平面PMN，所以AC∥平面PMN…（7分）
（2）因為PA=PB=PC，M、N分別為AB、BC的中點，
所以PM⊥AB，PN⊥BC，
又因為平面PAB⊥平面ABC，PM?平面PAB，平面PAB∩平面ABC=AB，
所以PM⊥平面ABC…（10分）
又BC?平面ABC，
所以PM⊥BC，
所以BC⊥平面PMN，
因為MN?平面PMN，
所以MN⊥BC…（14分）

點評 本題主要考查了直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．