Question

19．定義：曲線C上的點到點P的距離的最小值稱為曲線C到點P的距離．已知曲線C：y=$\frac{1}{x}$（x＞0）到點P（a，a）的距離為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，則實數a的值為-$\frac{1}{2}$或$\frac{\sqrt{26}}{2}$．

Answer 1

分析 分P在曲線C外部和內部兩種情況求解，當P在曲線外部時，直接由兩點間的距離求解，當P在曲線內部時，寫出以P（a，a）為圓心，以$\frac{3\sqrt{2}}{2}$為半徑的圓的方程，再設圓與曲線的公共弦方程為y=-x+b，聯立直線與曲線、直線與圓，求得交點坐標，由坐標相等求得a的值．

解答 解：當P在曲線C外部時，P到曲線的最小值為P到（1，1）的距離，
等于$\sqrt{2（a-1）^{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，解得a=-$\frac{1}{2}$或a=$\frac{5}{2}$（舍）；
當P在曲線C內部時，以P（a，a）為圓心，以$\frac{3\sqrt{2}}{2}$為半徑的圓為$（x-a）^{2}+（y-a）^{2}=\frac{9}{2}$．
設曲線y=$\frac{1}{x}$（x＞0）與圓$（x-a）^{2}+（y-a）^{2}=\frac{9}{2}$的公共弦所在直線方程為y=-x+b，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+b}\\{y=\frac{1}{x}}\end{array}\right.$，得x²-bx+1=0，解得${x}_{1}=\frac{b-\sqrt{^{2}-4}}{2}$（靠近y軸交點橫坐標）．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+b}\\{（x-a）^{2}+（y-a）^{2}=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，得4x²-4bx+4a²+2b²-4ab-9=0．
解得：${x}_{2}=\frac{b-\sqrt{4ab+9-4{a}^{2}-^{2}}}{2}$（靠近y軸交點橫坐標）．
由x₁=x₂，得$\sqrt{^{2}-4}=\sqrt{4ab+9-4{a}^{2}-^{2}}$，即b²-4=4ab+9-4a²-b²，
∴4a²-4ab+2b²=13．
設直線y=-x+b交x軸于A，交y軸于B，由對稱性及四邊形內角和為360°可知a=b，
∴4a²-4a²+2a²=13，解得$a=-\frac{\sqrt{26}}{2}$（舍）或$a=\frac{\sqrt{26}}{2}$．
故答案為：-$\frac{1}{2}$或$\frac{\sqrt{26}}{2}$．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的位置關系，考查了圓與圓錐曲線的位置關系，考查了學生的理解能力和運算能力，是中檔題．