Question

10．已知函數(shù)f（x）=lnx-m（x-1）．若函數(shù)f（x）在點(diǎn)[$\frac{1}{2}$，f（$\frac{1}{2}$）]處的切線與直線y+x+1=0相互垂直．
（1）求m的值．
（2）求函數(shù)f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，確定切線的斜率，利用函數(shù)f（x）在點(diǎn)[$\frac{1}{2}$，f（$\frac{1}{2}$）]處的切線與直線y+x+1=0相互垂直，建立方程，即可求m的值．
（2）確定函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，即可求函數(shù)f（x）的最大值．

解答 解：（1）因?yàn)閒（x）=lnx-m（x-1），
所以f′（x）=$\frac{1}{x}$-m，
所以f′（$\frac{1}{2}$）=2-m，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在點(diǎn)[$\frac{1}{2}$，f（$\frac{1}{2}$）]處的切線與直線y+x+1=0相互垂直，
所以2-m=1，
所以m=1；
（2）f（x）=lnx-（x-1），f′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
所以0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，x＞1時(shí)，f′（x）＜0，
所以函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
所以x=1時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最大值，正確求出導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵．