Question

9．已知函數(shù)f（x）=|x-a|．
（1）若f（x）≤m的解集為{x|-1≤x≤5}，求實(shí)數(shù)a，m的值；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，解關(guān)于x的不等式f（x）+2a-1≥f（x+a）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)絕對(duì)值不等式的解法，我們可得f（x）≤m的解集a-m≤x≤a+m，再由已知中f（x）≤m的解集為{x|-1≤x≤5}，由此可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a，m的二元一次方程組，解方程組，即可得到答案；
（2）討論當(dāng)x≥a時(shí)，當(dāng)x≤0時(shí)，當(dāng)0＜x＜a時(shí)，去絕對(duì)值，解不等式，再討論a的范圍，即可得到．

解答 解：（1）由|x-a|≤m得a-m≤x≤a+m，
即有$\left\{\begin{array}{l}{a-m=-1}\\{a+m=5}\end{array}\right.$，
解之得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{m=3}\end{array}\right.$．
（2）f（x）+2a-1≥f（x+a）即為
|x-a|+2a-1≥|x|，
當(dāng)x≥a時(shí)，x-a+2a-1≥x，即為a≥1，
當(dāng)x≤0時(shí)，a-x+2a-1≥-x，即為a≥$\frac{1}{3}$，
當(dāng)0＜x＜a時(shí)，a-x+2a-1≥x，解得x≤$\frac{3a-1}{2}$，
當(dāng)a≥1時(shí)，即有x≥a或x≤0或0＜x＜a，
當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{3}$時(shí)，x∈∅，
當(dāng)$\frac{1}{3}$≤a＜1時(shí)，x∈∅或x≤0或0＜x≤$\frac{3a-1}{2}$，
則當(dāng)a≥1時(shí)，解集為R，
當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{3}$時(shí)，解集為∅，
當(dāng)$\frac{1}{3}$≤a＜1時(shí)，解集為（-∞，$\frac{3a-1}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是絕對(duì)值不等式的解法，“零點(diǎn)分段法”去掉絕對(duì)值符號(hào)，將原不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式和運(yùn)用分類(lèi)討論的思想方法，是解答本題的關(guān)鍵．