11．已知n∈N，求證：（1+1）（1+$\frac{1}{4}$）…（1+$\frac{1}{3n-2}$）＞$\root{3}{3n+1}$．

分析 根據(jù)數(shù)學歸納法，n=1時容易驗證原不等式成立，然后就假設n=k時原不等式成立，從而便可得到$（1+1）（1+\frac{1}{4}）…（1+\frac{1}{3k-2}）（1+\frac{1}{3k+1}）$$＞\root{3}{3k+1}•（1+\frac{1}{3k+1}）$，通過作差證明$\root{3}{3k+1}•（+\frac{1}{3k+1}）＞\root{3}{3k+4}$即可說明n=k+1時原不等式也成立，從而得出原不等式成立．

解答 證明：1）n=1時，$1+1＞\root{3}{4}$成立，即此時原不等式成立；
2）假設n=k時原不等式成立，即：
$（1+1）（1+\frac{1}{4}）…（1+\frac{1}{3n-2}）$$＞\root{3}{3k+1}$；
∴$（1+1）（1+\frac{1}{4}）…（1+\frac{1}{3k-2}）（1+\frac{1}{3k+1}）$$＞\root{3}{3k+1}•（1+\frac{1}{3k+1}）$；
$\root{3}{3k+1}•（1+\frac{1}{3k+1}）$=$\root{3}{3k+1}•\frac{3k+2}{3k+1}=\root{3}{\frac{（3k+2）^{3}}{（3k+1）^{2}}}$；
∴$\frac{（3k+2）^{3}}{（3k+1）^{2}}-（3k+4）=\frac{（3k+2）^{3}-（3k+1）^{2}（3k+4）}{（3k+1）^{2}}$=$\frac{9k+4}{（3k+1）^{2}}＞0$；
∴$\root{3}{3k+1}•（1+\frac{1}{3k+1}）＞\root{3}{3k+4}$；
∴$（1+1）（1+\frac{1}{4}）…（1+\frac{1}{3k+1}）＞\root{3}{3k+4}$；
即n=k+1時原不等式成立；
綜上得（1+1）$（1+\frac{1}{4}）…（1+\frac{1}{3n-2}）＞\root{3}{3n+1}$成立．

點評 考查數(shù)學歸納法證明題目的步驟，知道數(shù)學歸納法是用于證明關于正整數(shù)n的命題的一種方法，不等式的性質(zhì)，作差比較兩個式子的大小．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

1．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左，右焦點分別為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），橢圓C的上頂點與右頂點的距離為$\sqrt{3}$，過F2的直線與橢圓C交于A，B兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程
（Ⅱ）點M在直線x=2上，直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，若k1+k2=2，求證：點M為定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

2．A，B，C，D四人猜想自己所買彩票的中獎情況．
A說：“如果我中獎了，那么B也中獎了”
B說：“如果我中獎了，那么C也中獎了”
C說：“如果我中獎了，那么D也中獎了”
結(jié)果三人都沒有說錯，但是只有兩人中獎了，這兩人是C，D．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

19．定義：曲線C上的點到點P的距離的最小值稱為曲線C到點P的距離．已知曲線C：y=$\frac{1}{x}$（x＞0）到點P（a，a）的距離為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，則實數(shù)a的值為-$\frac{1}{2}$或$\frac{\sqrt{26}}{2}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

6．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦點分別為F1、F2，上下頂點分別為M，N，若橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，短軸長為2．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若直線MF2與橢圓交于另一點E，求△MF1E的面積；
（3）Q（m，n）是單位圓x2+y2=1上任一點，設P，A，B是橢圓E上異于頂點的三點且滿足$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$，求證：直線OA與OB的斜率之積為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

16．487被7除的余數(shù)為a（0≤a＜7），則${（x-\frac{a}{x^2}）^6}$展開式中x-3的系數(shù)為（　　）
A．4320B．-4320C．20D．-20

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

3．已知命題：
①將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)都變?yōu)樵瓉淼?倍，則方差也變?yōu)樵瓉淼?倍；
②在△ABC中，若A＞B，則sinA＜sinB；
③在正三棱錐S-ABC內(nèi)任取一點P，使得VP-ABC＜$\frac{1}{2}{V_{S-ABC}}$的概率是$\frac{7}{8}$；
④若對于任意的n∈N*，n2+（a-4）n+3+a≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是$[{\frac{1}{3}，+∞}）$．
以上命題中正確的是③④（填寫所有正確命題的序號）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

20．若A，B，C都是正數(shù)，且A+B+C=3，則$\frac{4}{A+1}$+$\frac{1}{B+C}$的最小值為$\frac{9}{4}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

1．汽車駕駛員發(fā)現(xiàn)前方有障礙物時會緊急剎車，這一過程中，由于人的反映需要時間，汽車在慣性的作用有一個剎車距離，設停車安全距離為S，駕駛員反映時間內(nèi)汽車所行距離為S1，剎車距離為S2，則S=S1+S2．而S1與反映時間t有關，S1=10ln（t+1），S2與車速v有關，S2=bv2．某人剎車反映時間為$\sqrt{e}$-1秒，當車速為60km/h時，緊急剎車后滑行的距離為20米，若在限速100km/h的高速公路上，則該汽車的安全距離為61．（精確到米）

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同步練習冊答案