Question

11．已知n∈N，求證：（1+1）（1+$\frac{1}{4}$）…（1+$\frac{1}{3n-2}$）＞$\root{3}{3n+1}$．

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，n=1時(shí)容易驗(yàn)證原不等式成立，然后就假設(shè)n=k時(shí)原不等式成立，從而便可得到$（1+1）（1+\frac{1}{4}）…（1+\frac{1}{3k-2}）（1+\frac{1}{3k+1}）$$＞\root{3}{3k+1}•（1+\frac{1}{3k+1}）$，通過(guò)作差證明$\root{3}{3k+1}•（+\frac{1}{3k+1}）＞\root{3}{3k+4}$即可說(shuō)明n=k+1時(shí)原不等式也成立，從而得出原不等式成立．

解答 證明：1）n=1時(shí)，$1+1＞\root{3}{4}$成立，即此時(shí)原不等式成立；
2）假設(shè)n=k時(shí)原不等式成立，即：
$（1+1）（1+\frac{1}{4}）…（1+\frac{1}{3n-2}）$$＞\root{3}{3k+1}$；
∴$（1+1）（1+\frac{1}{4}）…（1+\frac{1}{3k-2}）（1+\frac{1}{3k+1}）$$＞\root{3}{3k+1}•（1+\frac{1}{3k+1}）$；
$\root{3}{3k+1}•（1+\frac{1}{3k+1}）$=$\root{3}{3k+1}•\frac{3k+2}{3k+1}=\root{3}{\frac{（3k+2）^{3}}{（3k+1）^{2}}}$；
∴$\frac{（3k+2）^{3}}{（3k+1）^{2}}-（3k+4）=\frac{（3k+2）^{3}-（3k+1）^{2}（3k+4）}{（3k+1）^{2}}$=$\frac{9k+4}{（3k+1）^{2}}＞0$；
∴$\root{3}{3k+1}•（1+\frac{1}{3k+1}）＞\root{3}{3k+4}$；
∴$（1+1）（1+\frac{1}{4}）…（1+\frac{1}{3k+1}）＞\root{3}{3k+4}$；
即n=k+1時(shí)原不等式成立；
綜上得（1+1）$（1+\frac{1}{4}）…（1+\frac{1}{3n-2}）＞\root{3}{3n+1}$成立．

點(diǎn)評(píng) 考查數(shù)學(xué)歸納法證明題目的步驟，知道數(shù)學(xué)歸納法是用于證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法，不等式的性質(zhì)，作差比較兩個(gè)式子的大�。�