Question

10．點P為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$右支上第一象限內(nèi)的一點，其右焦點為F₂，若直線PF₂的斜率為$\sqrt{3}$，M為線段PF₂的中點，且|OF₂|=|F₂M|，則該雙曲線的離心率為$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)|PF₂|=t，則|OF₂|=|F₂M|=$\frac{1}{2}$t=c，求得直線PF₂的傾斜角為60°，由三角函數(shù)的定義，可得P（2c，$\sqrt{3}$c），代入雙曲線的方程，運用a，b，c的關(guān)系和離心率公式，解方程即可得到所求值．

解答 解：設(shè)|PF₂|=t，則|OF₂|=|F₂M|=$\frac{1}{2}$t=c，
即t=2c，由直線PF₂的斜率為$\sqrt{3}$，可得
直線PF₂的傾斜角為60°，
可得P（c+2ccos60°，2csin60°），
即為P（2c，$\sqrt{3}$c），代入雙曲線的方程可得
$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{3{c}^{2}}{^{2}}$=1，
由b²=c²-a²，e=$\frac{c}{a}$，可得4e²-$\frac{3{e}^{2}}{{e}^{2}-1}$=1，
化為4e⁴-8e²+1=0，
解得e²=$\frac{4+2\sqrt{3}}{4}$（$\frac{4-2\sqrt{3}}{4}$舍去），
即有e=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用三角函數(shù)的定義和點滿足雙曲線的方程，考查運算能力，屬于中檔題．