Question

1．若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為$\sqrt{3}$，側(cè)面與底面所成的角是45°，則該正四棱錐的體積是（　�。�

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{4\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 作出棱錐的高與斜高，得出側(cè)面與底面所成角的平面角，利用勾股定理列方程解出底面邊長(zhǎng)，代入體積公式計(jì)算．

解答 解：過棱錐定點(diǎn)S作SE⊥AD，SO⊥平面ABCD，則E為AD的中點(diǎn)，O為正方形ABCD的中心．
連結(jié)OE，則∠SEO為側(cè)面SAD與底面ABCD所成角的平面角，即∠SEO=45°．
設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，則AE=OE=SO=$\frac{a}{2}$，
∴SE=$\sqrt{2}EO$=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$．
在Rt△SAE中，∵SA²=AE²+SE²，
∴3=$\frac{{a}^{2}}{4}+\frac{{a}^{2}}{2}$，解得a=2．
∴SO=1，
∴棱錐的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{正方形ABCD}•SO$=$\frac{1}{3}×{2}^{2}×1=\frac{4}{3}$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正棱錐的結(jié)構(gòu)特征，體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．