Question

20．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），F(xiàn)是右焦點，過F作雙曲線C在第一、第三象限漸近線的垂線l，若l與雙曲線的左右兩支都相交，則雙曲線的離心率e的取值范圍是（　�。�

• A． （$\sqrt{2}$，+∞）
• B． （$\sqrt{3}$，+∞）
• C． （2，+∞）
• D． （$\sqrt{5}$，+∞）

Answer 1

分析 求得雙曲線的漸近線方程和直線l的方程，代入雙曲線的方程，可得x的二次方程，運用韋達(dá)定理，由題意可得x₁x₂＜0，整理后即可求得a和c的不等式關(guān)系，求得離心率的范圍．

解答 解：由雙曲線方程可得在第一、第三象限漸近線為y=$\frac{a}$x，右焦點F（c，0），
可得直線l的方程為y=-$\frac{a}$（x-c），
代入雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，消去y得（b⁴-a⁴）x²+2a⁴cx-a²（a²c²+b⁴）=0，
設(shè)交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=$\frac{2{a}^{4}c}{{a}^{4}-^{4}}$，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}（{a}^{2}{c}^{2}+^{4}）}{{a}^{4}-^{4}}$，
由題意可得x₁x₂＜0，
∴b⁴＞a⁴即b＞a，
由c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$＞$\sqrt{2}$a，
e=$\frac{c}{a}$＞$\sqrt{2}$，
故選：A．

點評 本題主要考查雙曲線的簡單性質(zhì)，涉及了雙曲線方程中a，b和c的關(guān)系，漸近線問題，離心率問題，考查運算能力，屬于中檔題．