Question

已知

x2

2

+y²=1的左右焦點分別為F₁、F₂，直線l過點F₁與橢圓交于A、B兩點，求△ABF₂面積的最大值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：設(shè)直線l的傾斜角為θ，當(dāng)θ≠

π

2

時，求出△ABF₂的面積，當(dāng)θ=

π

2

時，求出△ABF₂的面積，比較得出△ABF₂面積的最大值．

解答： 解：如圖所示，
設(shè)直線l的傾斜角為θ，當(dāng)θ≠

π

2

時，不妨設(shè)θ∈（0，

π

2

）；
∴l(xiāng)的方程是y=tanθ（x+1），
∴

y=tanθ(x+1) x2 2 +y2=1

；
∵tanθ≠0，消去x，得

1+2tan2θ

tan2θ

y²-

2

tanθ

y-1=0，
∴y₁+y₂=

2

tanθ

×

tan2θ

1+2tan2θ

=

2tanθ

1+2tan2θ

，
y₁y₂=-

tan2θ

1+2tan2θ

；
∴|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

4tan2θ (1+2tan2θ)2 + 4tan2θ 1+2tan2θ

=

2 2 tanθ• 1 cosθ

1+2tan2θ

=

2 2 sinθ

sin2θ+1

=

2 2

sinθ+ 1 sinθ

；
∵θ∈（0，

π

2

），
∴sinθ+

1

sinθ

＞2，
∴|y₁-y₂|＜

2

，
∴S△ABF2＜

1

2

×2c|y₁-y₂|=

1

2

×2×

2

=

2

；
當(dāng)θ=

π

2

時，|AB|=2•

b2

a

=2×

1

2

=

2

，
∴S△ABF2=

1

2

•|AB|•2c=

1

2

×

2

×2=

2

；
綜上，△ABF₂面積的最大值為

2

．

點評：本題考查了橢圓的定義，計算三角形面積的應(yīng)用問題，基本不等式的運用問題等綜上，是中檔題．