Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0），過焦點(diǎn)F作動(dòng)直線交C于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作圓D：（x-

p

2

）²+y²=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為P，Q．若AB垂直于x軸時(shí)，

1

sin∠PAF

+

1

sin∠QBF

=4．
（Ⅰ）求拋物線方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)H也在曲線C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且

OA

+

OB

=t

OH

，|

HA

-

HB

|＜8，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,平面向量的基本定理及其意義

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）AB垂直于x軸時(shí)，|AF|=|BF|=p．如圖所示，由切線的性質(zhì)可得PF⊥AP．在Rt△APF中，sin∠PAF=

1

p

，同理可得sin∠QBF=

1

p

．即可解出p．
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為x-1=my，A(

y 2 1

4

，y1)，B(

y 2 2

4

，y2)．直線方程與拋物線方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長公式由|

HA

-

HB

|＜8，|

BA

|＜8，可得

(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]

＜8，m²＜1．由

OA

+

OB

=t

OH

，t≠0．利用向量坐標(biāo)運(yùn)算可得

OH

=

1

t

(

y 2 1 + y 2 2

4

，y1+y2)=(

4m2+2

t

，

-4

t

)．把點(diǎn)H的坐標(biāo)代入拋物線方程即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）AB垂直于x軸時(shí)，|AF|=|BF|=p．
如圖所示，由切線的性質(zhì)可得PF⊥AP．
在Rt△APF中，sin∠PAF=

1

p

，
同理可得sin∠QBF=

1

p

．
∵

1

sin∠PAF

+

1

sin∠QBF

=4，
∴2p=4，解得p=2．
∴拋物線方程為y²=4x；
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為x-1=my，A(

y 2 1

4

，y1)，B(

y 2 2

4

，y2)．
聯(lián)立

x-1=my y2=4x

，化為y²-4my-4=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4．
∵|

HA

-

HB

|＜8，∴|

BA

|＜8，
∴

(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

(1+m2)(16m2+16)

＜8，化為1+m²＜2，即m²＜1．
∵

y

2 1

+

y

2 2

=(y1+y2)2-2y1y2=16m²+8．

OA

+

OB

=t

OH

，t≠0．
∴

OH

=

1

t

(

y 2 1 + y 2 2

4

，y1+y2)=(

4m2+2

t

，

-4

t

)．
∵點(diǎn)H也在曲線C上，∴

16

t2

=

4(4m2+2)

t

．
化為t=

2

2m2+1

，
∵0≤m²＜1．
∴

2

3

＜t≤2．
∴t的取值范圍是：(

2

3

，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線方程與拋物線相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．